Matematické Fórum

stenly · 08. 04. 2016 09:58

Dobrý den ,mám příklad a potřebuji zjistit,zda má úvaha je správná.Zní:Dopady fotonů na detektor lze modelovat Poissonovým rozdělením .Za 1 sekundu dopadne na detektor průměrně 1.6 fotonu.Mám zjistit
a)Jaká je pravděpodobnost ,že za 1 minutu dopadne na detektor více než 100 fotonů
b)§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§,s využitím centrální limitní věty.
Má úvaha:P(x>100)=1-P(x<=100) .Dosadím do vzorce P(X)=(lambda*t) na x tou/x!*e^-lambda*t,pro hodnoty x=100,t=60,lambda=1.6 a využitím opačného jevu mi vyjde:1-2.34*10^-25 =cca.99.9% Je to prosím správná úvaha.S variantou b) jsem si pak už vůbec nevěděl rady.Děkuji za pomoc.

Jj · 08. 04. 2016 11:57

↑ stenly:

Dobrý den.

ad a) Vzoreček $P(X=x)=\frac{(\lambda t)^x e^{-\lambda t}}{x!}$ stanoví pravděpodobnost, že za čas t sekund dopadne na detektor právě x fotonů.

Takže hledaná pravděpodobnost bude $P(X>=x)=\sum_{x=101}^{\infty}P(X=x)=1-\sum_{x=0}^{100}P(X=x)$

ad b) V podstatě jde o to, nahradit (s ohledem na náročnost výpočtu podle a) Poissonovo rozložení normálním rozložením se stejnou střední hodnotou a rozptylem jako má Poissonovo:

$E(X) = \lambda t = 96$
$D(X) = \lambda t = 96 \Rightarrow \sigma(X)=\sqrt{96}$

Tzn. $P( X > 100)=1-P(0 < X <= 100) \doteq 1 - (F(100)-F(0)) \approx 1 - F(100)$ (F(0) vyjde prakticky = 0).
kde F(x) je distribuční funkce normálního rozložení $N(E(X), \sigma^2(X)=N(96, 9.8^2)$

Přesnější výsledek bude po opravě na celočíselnost (Poisson - diskrétní x, normální - spojité x):

$P(X>100) \doteq 1- F(100.5)$

stenly · 08. 04. 2016 12:31

↑ Jj:Děkuji moc,už tomu rozumím.

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2016 09:58

Poissonovo rozdělení

#2 08. 04. 2016 11:57

Re: Poissonovo rozdělení

#3 08. 04. 2016 12:31

Re: Poissonovo rozdělení

Zápatí