Matematické Fórum

Raubbbyy · 09. 04. 2016 18:01

Dobry den, riesim problem atomu vodiku vo vonkajsom homogennom magnetickom poli, ktoreho hamiltonian je
$\hat{H} = \frac{(\hat{\vec{p}}+e\vec{A})^2}{2 m_e}-e \phi$ ,
kde
$(\hat{\vec{p}}+e\vec{A})^2 =-{\hbar}^2 \triangle -\textbf{i} e \hbar \hspace{1 mm}\textbf{div} \vec{A}-2\textbf{i} e \hbar \vec{A} \nabla +e^2 {\vec{A}}^2$
a ja by som chcel vycislit ten posledny kvadraticky clen teda
$\hat{H'} = \frac{e^2 B^2}{8 m_e}(x^2+y^2) = \frac{e^2 B^2}{8 m_e}r^2 {\mathrm{sin}^2(\theta)}$
viem ze $\hat{H'}$ nekomutuje s hamiltonianom atomu vodiku $\hat{H}_0$ takze musim pouzit poruchovy pocet pre degenerovane hladiny a vycislit nediagonalne maticove elementy operatoru $\hat{H'}$
skusam to pre n = 3 a m =0 strednu hodnotu operatoru $\hat{H'}$ si oznacim $\hat{H'}_{kl} = \langle 3,k,0| \hat{H'}|3,l,0 \rangle$ kde k a l su hodnoty vedlajsieho kvantoveho cisla
takze podla poruchoveho poctu pre degenerovane hladiny mam rovnicu

$det\left( \begin{array}{cc@{\ }r} \hat{H'}_{00}-\lambda & \hat{H'}_{01} & \hat{H'}_{02} \\ \hat{H'}_{10} & \hat{H'}_{11}-\lambda & \hat{H'}_{12} \\ \hat{H'}_{20} & \hat{H'}_{21} & \hat{H'}_{22}-\lambda \\ \end{array} \right)=0$

ktore ked vycislim tak mam

$det\left( \begin{array}{cc@{\ }r} 3.39551 \cdot 10^{-8} -\lambda & 0 & -1.04391 \cdot 10^{-8} \\ 0 & 1.77157 \cdot 10^{-8}-\lambda & 0 \\ -1.04391 \cdot 10^{-8} & 0 & 1.47631 \cdot 10^{-8}-\lambda \\ \end{array} \right) =0$

vlastne hodnoty matice su:
$\lambda_1 = 3.85386 \cdot 10^{-8}$
$\lambda_2 = 1.77157 \cdot 10^{-8}$
$\lambda_3 = 1.01796 \cdot 10^{-8}$

vlastne vektory:
$|\lambda_1 \rangle = (0.915629,0,-0.402025)$
$|\lambda_2 \rangle = (0,1,0)$
$|\lambda_3 \rangle = (0.402025,0,0.915629)$

ktore mozeme zapisat ako linearnu kombinaciu
$|\lambda_1 \rangle = 0.915629|3,0,0 \rangle-0.402025|3,2,0 \rangle$
$|\lambda_2 \rangle = |3,1,0 \rangle$
$|\lambda_3 \rangle = 0.402025|3,0,0 \rangle+0.915629|3,2,0 \rangle$

ale teraz tak trochu nerozumiem, ako ziskam hodnoty tych poruch, pretoze tie lambdy su hodnoty poruch v inej bazi ako baza $\hat{H}_0$ , ako teda ziskam hodnoty poruch v bazi operatoru $\hat{H}_0$ ? nejak tomu nerozumiem

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2016 18:01

Poruchovy pocet - kvantova mechanika

Zápatí