Matematické Fórum

DavidMath · 09. 04. 2016 18:47

Dobrý den, potřeboval bych poradit s příkladem ohledně určitého integrálu.
Zadání zní:
Vypočítejte určitý integrál obsahu množiny omezenou funkcemi
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-04/20384_12988026_1281504281863664_1335884303_n.jpg ,

a přímkou

Děkuji

Al1 · 09. 04. 2016 18:52

↑ DavidMath:

Zdravím,

je třeba zjistit integrační meze. Je dobré si obrazec zakreslit a také vypočítat průsečíky těchto funkcí.

DavidMath · 09. 04. 2016 18:58

No a to právě nevím - nevím, jak to vypočítat.

Al1 · 09. 04. 2016 19:05

↑ DavidMath:

$\frac{2}{x}=x+\frac{7}{2}$

DavidMath · 09. 04. 2016 20:32

↑ Al1: TO mi vyšlo x = 7/3 a co jsem tím zjistil?

Al1 · 09. 04. 2016 20:38

↑ DavidMath:

řešení není správné. Správně je

$\frac{2}{x}=x+\frac{7}{2}/\cdot 2x, x\neq0\nl 4=2x^{2}+7x\nl 2x^{2}+7x-4=0\nl x_{1}=-4, x_{2}=\frac{1}{2}$

A teď namaluj hyperbolu $y=\frac{2}{x}$ , přímku $y=x+\frac{7}{2}$ , přímky $x=\frac{1}{2}, x=3$ a podívej se na obrazec, jehož obsah chceš spočítat.

DavidMath · 09. 04. 2016 21:03

Tak to my vyšlo takto. Mělo by to být přesné, protože jsem si našel vždy minimálně 2 body k funkcím, navíc jsem použil čtverečkovaný papír.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-04/28538_12988158_1281582645189161_1014892643_n.jpg

Je to tak?
Jak pokračovat dál? Jaké budou meze?

Nevím, co a kam dosadit, abych napsal správně meze a zadání určitého integrálu...

Al1 · 09. 04. 2016 21:11 — Editoval Al1 (09. 04. 2016 21:17)

↑ DavidMath:

Obrazec je nad hyperbolou $y=\frac{2}{x}$ , pod přímkou $y=x+\frac{7}{2}$ od $x=\frac{1}{2}$ do $x=3$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

DavidMath · 09. 04. 2016 21:22

Aha, takže ta červeně vybarvená plocha? To by mě nenapadlo... :-)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-04/29302_12987919_1281588741855218_1332264712_n.jpg

Takže budou dva integrály, přičemž se poté obsah S sečte? S = S1 + S2 ?

Bude:

1. integrál

2. integrál

Výsledky integrálů se sečtou (S1 + S2) a vyjde výsledek S?

DavidMath · 09. 04. 2016 21:44

Tak integrál s (x + 7/2) mi vyšel -105/8

Co ale s druhým integrálem (2/x), to netuším. Po integraci vede na logaritmus, takže to bude 2 * ln (1/2) - 2 * ln (3) ?

Al1 · 09. 04. 2016 21:55

↑ DavidMath:

Vypočítáš obsah pod přímkou ( tvůj první integrál - počítáš obsah pod přímkou až k ose x) a pod hyperbolou ( tvůj druhý integrál - počítáš obsah pod hyperbolou až k ose x), ale oba obsahy od sebe odečteš.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

DavidMath napsal(a):
Co ale s druhým integrálem (2/x), to netuším. Po integraci vede na logaritmus, takže to bude 2 * ln (1/2) - 2 * ln (3) ?

Integrační meze dosazuješ chybně, proto máš patrně první výsledek opačný.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

DavidMath · 09. 04. 2016 22:20

Ahá... Já dosazoval meze poté naopak...

Jinak mohu dotaz?
Bez kalkulačky spočítat logaritmus 3 nebo logaritmus 1/2 asi nelze, že?
Protože kdyby nebyla povolená kalkulačka, tak bych to třeba nevěděl...

Takže kompletní výsledek bude:

105/8 - ln 36 NEBO 105/8 + ln 36 ?

Důvod, proč mám odčítat a ne sčítat?
A pokud mám opravdu odečíst, tak jak poznám, co od sebe odečíst? Jestli ln 36 - 105/8 nebo 105/8 - ln 36?

Al1 · 10. 04. 2016 10:11

↑ DavidMath:

výpočtem $\int_{\frac{1}{2}}^{3}x+\frac{7}{2}\ dx$ získáš polochu pod přímkou

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-04/75541_utvar2.png

výpočtem $\int_{\frac{1}{2}}^{3}\frac{2}{x}\ dx$ získáš polochu pod hyperbolou

Je snad jasné, že od sebe oba obsahy odečteš, abys získal obsah obrazce mezi křivkami

Jinak zpaměti asi $\ln 3$ nespočítáš, můžeš jen hodnotu odhadnout. Zde ovšem uplatníš pravidla pro počítání logaritmů a obsah bude vyjádřen jako

$S=\frac{108}{5}-\ln 36$

DavidMath · 10. 04. 2016 12:56

Děkuji :)

DavidMath · 10. 04. 2016 12:57

Dotaz - v jakém programu děláte takové šikovné funkce ?

Al1 · 10. 04. 2016 13:00

↑ DavidMath:

Pracuji buď s GeoGebrou nebo s programem Graph

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2016 18:47

Výpočet určitého integrálu - množiny

#2 09. 04. 2016 18:52

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#3 09. 04. 2016 18:58

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#4 09. 04. 2016 19:05

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#5 09. 04. 2016 20:32

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#6 09. 04. 2016 20:38

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#7 09. 04. 2016 21:03

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#8 09. 04. 2016 21:11 — Editoval Al1 (09. 04. 2016 21:17)

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#9 09. 04. 2016 21:22

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#10 09. 04. 2016 21:44

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#11 09. 04. 2016 21:55

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

DavidMath napsal(a):

#12 09. 04. 2016 22:20

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#13 10. 04. 2016 10:11

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#14 10. 04. 2016 12:56

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#15 10. 04. 2016 12:57

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#16 10. 04. 2016 13:00

Re: Výpočet určitého integrálu - množiny

#17 10. 04. 2016 13:42 Příspěvek uživatele DavidMath byl skryt uživatelem DavidMath. Důvod: spetl jsem si téma

#18 10. 04. 2016 13:46 Příspěvek uživatele DavidMath byl skryt uživatelem DavidMath. Důvod: Spetl jsem si téma

Zápatí