Matematické Fórum

emhertlova · 19. 04. 2016 22:50

Zadání:
$\int_{}^{}\frac{4x+1}{3x^{2}-4x+3}$

Výsledek:
$\frac{2}{3}\ln |3x^{2}-4x+3|+\frac{11}{3\sqrt{5}}arctg\frac{3x-2}{\sqrt{5}}+C$

Nějak mi nevychází ten druhý člen výsledku.Skončila jsem takto:

$\int_{}^{}\frac{4}{6}*\frac{11}{2}/3x^{2}-4x+3$

Postupovala jsme při počítání jmenovatele podle výpočtu doplnění na čtverec, ale nějak mi to nevychází. Možná i proto, že je před tím $x^{2}$ číslo 3.

Proto prosím o radu, jak tento příklad vypočítat.

Pritt · 19. 04. 2016 23:39 — Editoval Pritt (19. 04. 2016 23:40)

↑ emhertlova:

Pokud chceš doplnit výraz ve jmenovateli na čtverec, musíš nejdříve vytknout koeficient u $x^2$ .

$3x^2 - 4x +3 = 3(x^2 -\frac{4}{3}+1)=3((x-\frac{2}{3})^2 + \frac{5}{9}) = \frac{5}{3}(\frac{9(x-\frac{2}{3})^2}{5} +1)$

Poslední úprava je pro nastavení toho výrazu, aby si mohla vhodně substituovat.

emhertlova · 20. 04. 2016 23:28

Děkuji za radu. Mám ještě jeden dotaz.

Když mi vyšla ta druhá část výrazu jako:
$\frac{11}{2}*\frac{1}{3(x-\frac{2}{3})^{2}+\frac{5}{9}}$

tak při finální úpravě musím vynásobit ještě $\frac{1}{3}$ ?

Jelikož jsem to dělala podle vzorce:

$\frac{1}{A^{2}+x^{2}}=\frac{1}{A}*arctg*\frac{x}{A}$

Snad je to srozumitelné, na co se ptám :)

Freedy · 20. 04. 2016 23:57

↑ emhertlova:

ta vzorec se vykašli, pokud hledáš integrál:
$\int_{}^{}\frac{11}{6(x-\frac{2}{3})^2+\frac{10}{9}}$
tak ho jednoduše uprav do tvaru
$C\int_{}^{}\frac{1}{(P(x))^2 + 1}$ (kde P(x) je polynom prvního stupně)
a pak proveď substituci $P(x) = t$
Pak už nebudeš mít žádné starosti s nějakými konstantami ve vzorcích.

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2016 22:50

Integrace - parciální zlomky

#2 19. 04. 2016 23:39 — Editoval Pritt (19. 04. 2016 23:40)

Re: Integrace - parciální zlomky

#3 20. 04. 2016 23:28

Re: Integrace - parciální zlomky

#4 20. 04. 2016 23:57

Re: Integrace - parciální zlomky

Zápatí