Matematické Fórum

Pritt · 28. 04. 2016 13:36

Zdravím,

napověděl by někdo, jak vyšetřit konvergenci u tohoto integrálu?
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(sin\;x)}{\sqrt{x}}dx$

Integrál by podle výsledků měl konvergovat.
Zkoušel jsem to cestou přes BC podmínku pro konvergenci, ale zatím neúspěšně.. Díky za každý tip.

kajzlik

Ahoj, tak třeba takto:

Na okolí nuly linearizovat integrand, tj. je možno zvolit $\epsilon >0$ tak, aby chyba linearizace byla "minimální".

Pak můžeme psát

$\int_0^\epsilon \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx + \int_\epsilon^{\pi/2} \frac{\ln \sin x}{\sqrt{x}} dx$ . První integrál lze snadno spočítat (per partes) a vzhledem k tomu, že $\epsilon>0$ , je konečný. V druhém integrálu máme potom omezenou funkci, tedy je také konečný.

Pritt · 28. 04. 2016 22:08 — Editoval Pritt (28. 04. 2016 22:10)

Ahoj,

Díky,ale s pojmy "linearizace integrandu" a "chyba linearizace" jsem se popravdě ještě nesetkal. Asi rozumím tomu, jak to funguje, ale mělo by to jít řešit (a mělo by být i řešeno) pomocí těchto kritérií:
1) nelimitní a limitní srovnávací kritérium
2) Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence (pro zobecněný Riemannův integrál)

Nelimitní a limitní kritéria ale použít podle mě nemůžu, protože integrand je záporný na intervalu $\langle 0, \frac{\pi}{2})$

jarrro · 28. 04. 2016 22:13

http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 06#p432606

Pritt · 28. 04. 2016 23:24 — Editoval Pritt (28. 04. 2016 23:45)

↑ jarrro:

Děkuji, přeci jen ještě otevřu téma. Potřeboval bych si to ujasnit..
Podle odkazu si tedy mohu integrál $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(sin\;x)}{\sqrt{x}}dx$ odhadnout ze shora a zespoda takto:

Potřebuji tedy ukázat, že integrál $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\left (\frac{x}{2}\right )}{x^{\frac{1}{2}}}dx$ konverguje.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\left (\frac{x}{2}\right )}{x^{\frac{1}{2}}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\left (x\right )}{x^{\frac{1}{2}}}dx - ln2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

integrál $ln2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ konverguje.

ukážu tedy, že i první integrál konverguje $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{lnx}{\sqrt{x}}dx = \int_{0}^{1} \frac{lnx}{\sqrt{x}}dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{lnx}{\sqrt{x}}dx$

Toto $\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{lnx}{\sqrt{x}}dx$ konverguje.
$\int_{0}^{1} \frac{lnx}{\sqrt{x}}dx = |S: t = lnx, \; x = e^t, \; dx = e^t dt \;| = \int_{-\infty}^{0} t\cdot \sqrt {e^t}dt = ... =K, K \in \mathbb{R}$ Takže také konverguje.

Nyní jsem ukázal, že $L<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(sin\;x)}{\sqrt{x}}dx<0$ .

Jak nyní ale ukázat, že skutečně konverguje?

jarrro · 29. 04. 2016 09:38

nerovnosti platia aj bez integrálov teda porovnávacie kritérium pre záporné funkcie

Pritt · 29. 04. 2016 12:58

Tedy, že
$L<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(sin\;x)}{\sqrt{x}}dx<0$ odpovídá
$-\frac{ln(x/2)}{\sqrt{x}}dx>-\frac{ln(sin\;x)}{\sqrt{x}}dx>0$

A protože integral z funkce vlevo konverguje, konverguje i původní integral. (Pokud jsem to správně pochopil)

jarrro · 30. 04. 2016 08:22

áno

Pritt · 30. 04. 2016 13:27

↑ jarrro:

Děkuji moc jarrro

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2016 13:36

konvergence integrálu

#2 28. 04. 2016 21:54 — Editoval kajzlik (28. 04. 2016 21:54)

Re: konvergence integrálu

#3 28. 04. 2016 22:08 — Editoval Pritt (28. 04. 2016 22:10)

Re: konvergence integrálu

#4 28. 04. 2016 22:13

Re: konvergence integrálu

#5 28. 04. 2016 23:24 — Editoval Pritt (28. 04. 2016 23:45)

Re: konvergence integrálu

#6 29. 04. 2016 09:38

Re: konvergence integrálu

#7 29. 04. 2016 12:58

Re: konvergence integrálu

#8 30. 04. 2016 08:22

Re: konvergence integrálu

#9 30. 04. 2016 13:27

Re: konvergence integrálu

Zápatí