Matematické Fórum

canicula · 03. 05. 2016 13:58

Dobrý den,
ráda bych se zeptala, jak by se mělo postupovat při řešení úlohy:
Schrodingerova rovnice ve tvaru:
$-\frac{\bar{h}^2}{2m}\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2} + V(x) \psi (x) = E \psi (x)$
Uvažuj částictici, která se pohybuje s konstantním potenciálem (t.j. $\psi (x) = V_0$ ). Předpokládej, že $E > V_0$ a ukaž, že řešením této Schrodingerovy rovnice je:
$\psi (x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)$
a ukaž vztah mezi $E$ a $k$ .
-------
Já jsem tedy použila dané vyjádření pro potenciál a přepsala rovnici do tvaru:
$-\frac{\bar{h}^2}{2m}\frac{d^2 \psi (x)}{dx^2} = (E - V_0) \psi (x)$ .
Mate mně, že zde není $\frac{d \psi}{dx}$ (jestli se $\frac{d \psi}{dx}$ = 0, pak by i další derivace byla 0).
Prosím, poraďte, od čeho se mám alespoň odpíchnout?

Děkuji

Raubbbyy · 03. 05. 2016 21:56

v prvom rade mi pride blbost pisat $\psi(x) = V_0$ , $\psi(x)$ je predsa vlnova funkcia a potencial nam urcuje $V(x)$ , takze mas asi na mysli $V(x) = V_0$ alebo sa mylim ?

canicula · 03. 05. 2016 22:30

Raubbbyy napsal(a):
v prvom rade mi pride blbost pisat $\psi(x) = V_0$ , $\psi(x)$ je predsa vlnova funkcia a potencial nam urcuje $V(x)$ , takze mas asi na mysli $V(x) = V_0$ alebo sa mylim ?

Ano, pardon, je to tak.

Raubbbyy

tu differencialnu rovnicu by som si prepisal do tvaru
$\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+ (E-\frac{2mV_0}{\hbar^2})\psi(x) = 0$
substitucia
$(E-\frac{2mV_0}{\hbar^2}) = k^2 >0$
odhadneme vysledok v tvare
$\psi(x) = e^{-\lambda x}$
z toho plyne ze
$\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{dx^2}} = \lambda^2e^{-\lambda x}$
dosadime do povodnej rovnice a dostaneme jednoduchy vztah
$\lambda^2+k^2 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm \mathrm{i}k$
takze vysledok
$\psi(x) = C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}+C_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}$
pouzijeme eulerove vzorce ktore hovoria ze
$\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} = \mathrm{cos}(kx)+\mathrm{i} \hspace{1mm}\mathrm{sin}(kx)$
a
$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} = \mathrm{cos}(kx)- \mathrm{i}\hspace{1mm}\mathrm{sin}(kx)$
po roznasobeni a uprave dostaneme
$\psi(x) = (C_1+C_2)\mathrm{cos}(kx)+ \mathrm{i}(C_1-C_2)\mathrm{sin}(kx)$
konstanty si mozeme oznacit ako chceme takze si ich mozeme predefinovat aby to odpovedalo tvojmu vysledku teda
$(C_1+C_2) = B$ a $\mathrm{i}(C_1-C_2) = A$
este mozes vyjadrit to $k$ teda $k = \sqrt{E-\frac{2mV_0}{\hbar^2}}$

Brzls · 04. 05. 2016 12:56 — Editoval Brzls (04. 05. 2016 13:01)

↑ Raubbbyy:
To je sice pravda (teda hned první rovnice není dobře, ale to je jen drobná chyba v upravě), ale v tomto případě příliš složité. Zaprvé se jedná o rovnici klasického harmonického oscilátoru, za druhé již řešení známe, stačí nám ověřit že rovnici splňuje.

$\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+ (\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2})\psi(x) = 0$

$\psi (x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)$
$\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}=-k^{2}(A \sin (kx) + B \cos (kx) )$

odtud hned plyne, že $k = \sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}$

Pravděpodobně by i prošlo pouhé konstatování, že jde o rovnici klasického harmonického oscilátoru jejíž řešení je známé, tudíž nutně $k = \sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}$ ale to záleží i na vyučujícím