Matematické Fórum

liamlim

Dobrý den,

Napadlo by někoho, jak dokazovat následující? Umím to dokázat jen pro přirozená $x$ přes komplexní čísla, takže bych byl velmi rád za nějaké nasměrování, jak by to bylo možno zobecnit.

Dokažte, že pro reálné $x$ platí: $\arctan(x+1) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)$

Jistě to není nic těžkého, ale mě nejde na nic přijít. Pro info, jsem v prváku, takže to jistě lze nějak jednoduše.

Díky!

edit.: Dělal jsem to způsobem přes: $(1^2+1)(2^2+1)\cdots (n^2+1) = (1-i)(n+i)\cdot(1^2+1+1 + \textit{i})(2^2+2+1 + \textit{i})\cdots (n^2+n+1 + \textit{i})$

přičemž tímto způsobem jsem taky odvodil, že to tvrzení platí. Pak už jsem si jen pohrál s tím, jak musí vypadat součin na druhé straně rovnosti... Toto ale nemůžu provézt pro reálné $n$

Bati · 12. 05. 2016 00:06

Ahoj ↑ liamlim:,

1) jako jednoduchý důsledek vzorce, který plyne ze součtových vzorců pro sinus a kosinus

2) zderivuješ a všimneš si, že $1+(x^2+x+1)^2=(x^2+1)(x^2+2x+2)$ .

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2016 23:03 — Editoval liamlim (11. 05. 2016 23:26)

důkaz arkus tangens

#2 12. 05. 2016 00:06

Re: důkaz arkus tangens

Zápatí