Matematické Fórum

Vlastní číslo místo lambda označím L.

Já si vzpomínám, že se ty zobecněné hlavní vektory hledaly takhle:
v_1 -- vlastní vektor (splňuje (A-L*I)v_1=0)
v_2 -- řešení rovnice (A-L*I)v_2=v_1
v_3 -- řešení rovnice (A-L*I)v_3=v_2
...
v_k -- řešení rovnice (A-L*I)v_k=v_(k-1)
, ten řetězec pak někde skončí. (To je i v souladu s rovnicí [ (A-L*I)^k ] * v = 0, ale ne s prvním řádkem co jsi psal).

Musíme ukázat dvě věci:
1) T(V_L) je podpodprostorem V_L
   tzn. obraz T(v_i) každého bázového vektoru V_L leží v tom podprostoru V_L (pro jiné než bázové vektory to plyne z toho, že T je lineární)
   tzn. pro každé i od 1 do k platí, že A*v_i leží ve V_L
   tzn. A*v_i je lineární kombinací vektorů v_j

2) V_L je podprostorem T(V_L),
  tzn. kaýdý bázový vektor V_L je obrazem nějakého vektoru z V_L.

Část 1) máme hned z definičních rovnic zobecněných vlastních vektorů, stačí je převést  do tvarů
A*v_1=L*v_1
A*v_2=v_1+L*v_2
A*v_3=v_2+L*v_3
...
A*v_k=v_(k-1)+L*v_k

Část 2) získáme podobně, položme K=1/L:
A*(K*v_1)=v_1
A*(K*v_2-K^2v_1)=v_2
A*(K*v_3-K^2*v_2+k^3v_1)=v_2
...
zde akorát narážíme na problém s případem L=0, ve kterém tvrzení neplatí.