Matematické Fórum

Tom711 · 20. 05. 2016 14:13

Dobrý mám taký menší problém, konkrétne by ma zaujímalo ako postupovať pri výpočte takéhoto príkladu

Vypočítajte diferenciál, gradient a deriváciu funkcie f v zadanom smere u.
$f(x,y,z) = x^{2}yz$ $u=(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2})$ $a=(1,2-1)$

Myslím, že prvým krokom bolo urobiť parciálne derivácie
$\frac{\partial f}{\partial x}=2xyz$
$\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}z$
$\frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}y$

Ešte by sa asi niekde hodilo vyjadriť hodnoty parc. derivácii v bode a
$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2,-1)=-4$
$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2,-1)=-1$
$\frac{\partial f}{\partial z}(1,2,-1)=2$

Viem, že teraz by som mal byť už celkom blízko k výsledkom asi len neviem ako pokračovať ďalej, ak by niekto vedel, bol by som velmi vďačný.

Ďakujem za pomoc a prajem príjemný ďeň.

Rumburak · 20. 05. 2016 14:42

↑ Tom711:

Ahoj. Další je do značné míry záležitostí terminologie.

Gradient funkce $f$ v bodě $M$ je vektor $\nabla f(M)$ složený z prciálních derivací fce $f$ v bodě $M$ .

Totálním diferenciálem funkce $f$ v bodě $M$ se nazývá lineární forma

$L : \vec{h} \mapsto \nabla f(M) \cdot \vec{h}$

ZA PŘEDPOKLADU, že navíc platí

$\lim_{|\vec{h}| \to 0} \frac{f(M+\vec{h}) - f(M) - L(\vec{h})}{|\vec{h}|} = 0$ .

K existenci TD stačí spojitost PD 1. řádu v příslušném bodě.

Derivace funkce $f$ v bodě $M$ ve směru vektoru $\vec{u} \ne \vec{0}$ je

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{f(M + t\vec{u}) - f(M)}{t}$ .

Pokud v daném bodě existuje TD, pak existuje i (1) a lze ji vyjádřit pomocí TD.

Tom711 · 20. 05. 2016 15:25

Takže gradient vy mal byť
$grad f(a)=(-4,-1,2)$

Takže iba dosadím výsledky z parciálnych derivácií a vyrobím z toho vektor ak som to správne pochopil.

Keď pozerám do výsledkov tak ten prvý diferenciál vyjde
$-4(x-1)-1(y-2)+2(z+1)$

Takže v podstate je to vždy (x/y/z - súradnica bodu) * prvá derivácia podla x/y/z nie?

Okay takže tieto dve by som už vedel spraviť v podstate, len ešte tú deriváciu v smere, tam treba počítať limitu? Akú limitu by som musel vypočítať napríklad pre tento prípad?

Ďakujem a prajem príjemný ďeň

Rumburak · 23. 05. 2016 09:31

↑ Tom711:

K té derivaci ve směru:

Jak už jsem uvedl, jde obecně o limitu $\lim_{t \to 0} \frac{f(M + t\vec{u}) - f(M)}{t}$ ,
v níž je třeba konkretisovat funkci $f$ , bod $M$ a vektor $\vec{u}$ dle zadání úlohy, tedy
$f(x,y,z) = x^{2}yz$ , $M=a=[1,2,-1]$ , $\vec{u}=(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ .

Chápu, že praktické provedení té konkretisace je poněkud pracné a nudné :-).

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2016 14:13

Diferenciál, gradient a derivácia v smere

#2 20. 05. 2016 14:42

Re: Diferenciál, gradient a derivácia v smere

#3 20. 05. 2016 15:25

Re: Diferenciál, gradient a derivácia v smere

#4 23. 05. 2016 09:31

Re: Diferenciál, gradient a derivácia v smere

Zápatí