Matematické Fórum

Fonzik · 20. 05. 2016 17:45 — Editoval Fonzik (20. 05. 2016 17:48)

Dobrý den, v pondělí mne čeká profilová maturitní zkouška z matematiky a přicházím s tématem, které bych si mohl vytáhnout - derivace.
Chtěl bych si v tom udělat na 100% jasno, protože např. pří vyšetřování průběhu funkce je to tolik kroků, že už mi to někdy připadá, jako mechanické počítání bez souvislostí. Napíšu tedy, jak jednotlivé body chápu a budu rád, kdyby jste mne případně doplnili/opravili.

Definiční obor - zjistím, jestli je fce spojitá, popřípadě získám body nespojitosti, což jsou zároveň asymptoty bez směrnice.

Sudost/Lichost - pokud je fce sudá nebo lichá, pomůže mi to k jejímu určení (osová souměrnost podle x, nebo středová podle počátku)

Průsečíky - získám další body, které mi pomohou určit graf fce

1.DERIVACE - získám rovnici tečny v libovolném bodě T(x,y) + když dosadím za x získám směrnici této tečny + když ji položím rovnu 0 (=směrnice je nulová = tečna je rovnoběžná s osou x - je to místo kde může být minimum nebo maximum) dostanu stacionární body - body, které by mohly být lokálními extrémy. Poslední věc, kterou první derivací můžu získat jsou intervaly monotonnosti - 1. derivace větší než 0 - rostoucí, menší než 0 - klesající

2.DERIVACE - vím, že z ní získám intervaly konvexnosti a konkávnosti + případné inflexní body, umím to, ale moc logicky nechápu, co 2. derivace znamená (u 1. derivace chápu, že je to tečna ke grafu) + pokud do druhé derivace dosadím stacionární body a výsledek je větší než 0 - jde o minimum, menší než 0 - maximum (zase umím určit, ale nechápu logické souvislosti proč)

Asymptoty - znám vzorec pro výpočet, bohužel nevím jak k němu přijdu

Limity v nekonečnech/bodech nespojitosti - zjistím, jak se fce chová když se blíží k určitému bodu

A nakonec mám ještě jeden dotaz. Pokud je D(f) funkce R, ale D(f) 1. derivace není R (pro některé body neexistuje), co to značí ? Přece když je D(f) funkce R, tak už je spojitost fce zajištěna, ale přitom když 1.derivace není v bodě definovaná, fce je v tomto bodě nespojitá, ne ?

Vím, že je toho moc a nejspíš to bude strašně nepřehledné, ale pořád počítám a počítám a rád bych, aby mne u maturity nemohlo nic překvapit a abych všechny souvislosti chápal a ne jen věděl "jak to spočítat". Díky moc.

Pritt · 20. 05. 2016 23:01 — Editoval Pritt (20. 05. 2016 23:05)

↑ Fonzik:

Zdravím,

1) K té druhé derivaci. Můžeš si ji představit třeba jako první derivaci k první derivaci té původní funkce. Potom pokud ti tedy vyjde, že druhá derivace je na nějakém intervalu větší než 0, potom první derivace na tomto intervalu je rostoucí, což znamená, že původní funkce "zrychluje" svůj růst, nebo "zpomaluje" svoje klesání. A naopak pokud je druhá derivace záporná.
Potom si nemusíš pamatovat, co platí pro maximum a co pro minimum :)

2) Asymptoty jsou přímky, ke kterým se funkce blíží v nekonečnu takovým způsobem, že s nimi téměř "splývá" nebo spíše "přimyká". Proto musí platit $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-(ax+b)) = 0$
Tedy že rozdíl mezi těmito dvěma funkcemi se bude blížit nule. Pokud toto platí, potom jistě platí $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)-(ax+b)}{x} = 0$

A z toho: $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)-(ax+b)}{x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}-a \; \; \Rightarrow a\;\;=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}$

Druhý koeficient vypočteš podobně ze vztahu $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-(ax+b) )=0$ Stačí $b$ převést na druhou stranu rovnice.

3) To, že funkce je definovaná na nějakém intervalu neimplikuje, že funkce má na celém tomto intervalu derivaci.
Klasický příklad je funkce $y=|x|$ . Tato funkce je určitě spojitá na celém $\mathbb{R}$ ale v bodě x=0 derivace neexistuje.

Derivace funkce v bodě x implikuje spojitost funkce v bodě x. Ale neplatí to naopak. Tvrzení: "Pokud derivace není v bodě definovaná, potom funkce není v tomto bodě spojitá." Je nepravdivé.

jelena · 20. 05. 2016 23:31

Zdravím,

v doplnění kolegy ↑ Pritt: ještě:

Definiční obor - zjistím, jestli je fce spojitá, popřípadě získám body nespojitosti, což jsou zároveň asymptoty bez směrnice.

že v bodě nespojitosti je asymptota bez směrnice se musí ještě prokázat pomoci alespoň jednostranné limity Odkaz, bod nespojitosti může vypadat i tak - jako bod $c$ na obrázku (asymptota na obrázku je až v bodě $e$ ).

co 2. derivace znamená

k vysvětlení kolegy o rychlosti změny 1. derivace ještě se hodí podívat na konvexnost/konkávnost funkce ve vztahu k sečné Odkaz (a o max. a min. opět ve vztahu k sečné :-))

pří vyšetřování průběhu funkce je to tolik kroků, že už mi to někdy připadá, jako mechanické počítání bez souvislostí

Pokud máš čas, tak zkus projít zpětně některý hotový graf, co všechno bys na něm mohl vyšetřit, abys k němu dostal. Ta zdánlivě mechanická práce se určitě pěkně projasní (jako kdybys rozebral traktor na díly). Klidnou maturitu přeji.

Fonzik · 21. 05. 2016 00:11

Moc vám děkuji za doplnění a připomínky. Myslím, že to zhruba chápu a umím spojit do souvislostí, ale určitě né dokonale. Věřím ale, že to chce čas a s každým příkladem se další kousek skládačky dostane na své místo, až to bude všechno jasné a logicky pochopené. Díky :)

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2016 17:45 — Editoval Fonzik (20. 05. 2016 17:48)

Profilová maturitní zkouška (derivace)

#2 20. 05. 2016 23:01 — Editoval Pritt (20. 05. 2016 23:05)

Re: Profilová maturitní zkouška (derivace)

#3 20. 05. 2016 23:31

Re: Profilová maturitní zkouška (derivace)

#4 21. 05. 2016 00:11

Re: Profilová maturitní zkouška (derivace)

Zápatí