Matematické Fórum

Tom711 · 22. 05. 2016 14:49 — Editoval Tom711 (22. 05. 2016 14:52)

Dobrý deň,

Momentálne som narazil na substitúciu do polárnych súradnic a akosi mi robí problém nájsť hranice integrálov.
$\int_{}^{}\int_{}^{}arctg(\frac{y}{x}) dxdy$ s tým že:
$A=(x,y), 1\le x^{2}+y^{2}\le 9,\frac{x}{\sqrt{3}}\le y\le \sqrt{3}x$
Takže som si to nejako nakreslil:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/21106_Oblast.png

Transformácia je teda do $r,\varphi$ (dĺžka a uhol ak sa nepletiem)

Čo sa týka $r$ tak to je pomerne lahko vidieť $1\le r\le 3$ len som sa pozrel aká dlhá by mohla byť daná červená úsečka. No ako zistiť hranice toho $\varphi$ to by som potreboval poradiť. A potom ešte ten krok ako nahradiť ten povodný integrál aby tam bolo $dr d\varphi$ ?

Ďakujem a prajem príjemný deň.

jelena · 22. 05. 2016 18:37

Zdravím,

je dobré nevynechávat samotný zápis transformace - viz Odkaz. Z toho se bude odvozovat Tvé dosazení do předpisu integrované funkce a také pro nalezení všech požadovaných mezí (i když to nebude viditelné).

Zkus dosadit substituci do předpisu $\frac{x}{\sqrt{3}}\le y\le \sqrt{3}x$ , vzejde z toho omezení pro úhel $\varphi$ . Stačí tak? Děkuji.

Tom711 · 22. 05. 2016 19:43

Takže ak tmu správne rozumiem
$x=r\cos \varphi$
$y=r\sin \varphi$

Z čoho plynie?
$\frac{r\cos \varphi }{\sqrt{3}}\le r\sin \varphi \le \sqrt{3}r\cos \varphi$

Takže ak by som chcel vypočítať jednu hranicu potrebujem vypočítať?
$\frac{r\cos \varphi }{\sqrt{3}}=r\sin \varphi$
$\frac{\cos \varphi }{\sqrt{3}}=\sin \varphi$
$\cos \varphi =\sqrt{3}\sin \varphi$
$\frac{\cos \varphi }{\sin \varphi }=>\text{cotg}\varphi = \sqrt{3}$

No a to sa predsa rovná $\frac{\pi }{6}$
Takto by to mohlo byť, však?
Aháá takže už som to pochopil, ono v podstate si tam iba dosadím danú substitúciu do zadania a vždy to počítam akoby rovnicu, a z toho mi vyjde hranica ktorú následne už iba dám do integrálu.

A na druhú samozrejme podobne:
$\sqrt{3}r\cos \varphi =r\sin \varphi$

A potom po substitúcii bude ten integrál vyzerať takto?
$\int_{}^{}\int_{}^{}arctg(\frac{r\sin \varphi }{r\cos \varphi })rdrd\varphi$

Samozrejme s hranicami ktoré vyjdu z nových podmienok už

Ďakujem a prajem príjemný večer.

jelena · 22. 05. 2016 21:33

↑ Tom711:

ano, pokud nic nepřehlížím, tak je to pochopeno správně. Zápis $\mathrm {arctg}$\frac{r\sin \varphi }{r\cos \varphi }$$ ještě jde upravit na $...=\varphi$ (viz vztahy mezi arctg a tg).

Také děkuji a také klidný večer.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2016 14:49 — Editoval Tom711 (22. 05. 2016 14:52)

Určenie hraníc integrálu pri prechode do polárnych súadníc

#2 22. 05. 2016 18:37

Re: Určenie hraníc integrálu pri prechode do polárnych súadníc

#3 22. 05. 2016 19:43

Re: Určenie hraníc integrálu pri prechode do polárnych súadníc

#4 22. 05. 2016 21:33

Re: Určenie hraníc integrálu pri prechode do polárnych súadníc

Zápatí