Matematické Fórum

green19 · 31. 05. 2016 13:27

Ahojte, neviete mi poradit s ulohou:

Nech (X,S,m) je priestor s mierou. kde X={a,b,c} je trojprvkova mnozina, S je $\sigma -algebra$ vsetkych podmnozin mnoziny X a m je miera definovana na S, ktora je urcena nasledujucim sposobom: m({a})=0,m({b})=1,m({c})= $\infty$ . Zistite, aka je dimenzia priestoru $L^{\infty }(X)$ .

Rumburak

↑ green19:
Ahoj.

Množina $X$ je tříprvková, tudíž prostor všech funkcí $f: X \to \mathbb{R}$ zřejmě má dimensi 3.
L-integrál z takové funkce $f$ podle míry $m$ musí mít hodnotu

(1) $f(a)\cdot 0 + f(b)\cdot 1 + f(c) \cdot (+\infty)$ ,

kde aritmetické operace s nekonečnem definujeme obvyklým způsobem, tj.

$0\cdot (+\infty) := 0$ ,
$t\cdot (+\infty) := +\infty$ , pokud $t > 0$ ,
$t\cdot (+\infty) := -\infty$ , pokud $t < 0$ ,
$t \pm \infty := \pm\infty$ , pokud $t \in \mathbb{R}$ ,

takže hodnota (1) bude mít smysl pro každou funkci $f: X \to \mathbb{R}$ .

Tedy $L^{\infty }(X)$ bude mít dimensi ... .

green19 · 31. 05. 2016 14:37

↑ Rumburak:
tiez 3?

Rumburak · 31. 05. 2016 14:38

↑ green19:
Ano.

green19 · 31. 05. 2016 14:44

Dakujem.

Rumburak

↑ green19:

Ještě jsem si vzpomněl na jednu nuanci.

Prozatím jsem prostor $L^{\infty }(X)$ bral jako množinu $F$ jakýchsi skutečných funkcí a podle toho vyšel výsledek.

Ale je zde další možnost, která se rovněž využívá:

1. Množina $F$ se vyfaktorisuje podle exkvivalence

(1) $f = g$ skoro všude ,

kde výrok (1) znamená, že množina těch bodů $x$ , v nichž $f(x) \neq g(x)$ , má míru 0.

2. Za množinu $L^{\infty }(X)$ pak prohlásíme systém odpovídajících rozkladových tříd.

Není těžké zavést na takto pojaté množině $L^{\infty }(X)$ lineární operace (s příslušnými třídami funkcí) tak, aby vznikl
lineární prostor, který je v našem případě ovšem isomorfní s prostorem reálných funkcí definovaných na množině
$X - \{a\} = \{b, c\}$ , takže jeho dimense pak bude ne 3, ale 2.

Podívej se do svých studijních materiálů, jak jste si $L^{\infty }(X)$ zavedli u vás, zda prvním způsobem či tímto druhým.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2016 13:27

Dimenzia priestoru

#2 31. 05. 2016 14:19 — Editoval Rumburak (31. 05. 2016 14:38)

Re: Dimenzia priestoru

#3 31. 05. 2016 14:37

Re: Dimenzia priestoru

#4 31. 05. 2016 14:38

Re: Dimenzia priestoru

#5 31. 05. 2016 14:44

Re: Dimenzia priestoru

#6 01. 06. 2016 09:55 — Editoval Rumburak (01. 06. 2016 14:51)

Re: Dimenzia priestoru

Zápatí