Matematické Fórum

liamlim · 13. 06. 2016 09:56

Zdravím,

Přemýšlíme nad důkazem a nějak nás nenapadá, jak začít. Byli bychom rádi za jakékoliv nasměrování, nebo nápovědu, jak bychom mohli začít. Díky.

Ta věta zní: Nechť $G\subseteq \mathbb{R}^n$ je otevřená, $a\in G$ a $f:G\to \mathbb{R}$ . Nechť existuje totální diferenciál funkce $f$ v bodě $a$ , pak existují parciální derivace $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ a pro všechna $h\in \mathbb{R}^n$ platí

$df(a)(h) = \sum_{k=1}^nh_k\cdot \frac{\partial f}{\partial x_k}(a)$

Ještě jednou předem velké díky za jakékoliv nasměrování.

Bati · 13. 06. 2016 11:03 — Editoval Bati (13. 06. 2016 11:06)

Ahoj,
to je jen důsledek definic. Když f má tot. dif. v a, tak existuje $A\in\mathbb{R}^n$ , tak, že platí
$\lim_{h\to o}\frac{f(a+h)-f(a)-A\cdot h}{\lVert h\rVert}=0$ .
Z toho a z definice parciální derivace pak plyne
$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+te_i)-f(a)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{f(a+te_i)-f(a)-A\cdot(te_i)}{t}+A\cdot(te_i)=A_i$ .
$\cdot$ značím skalární součin. Je pak jasné, že $df(a,h)=\nabla f(a)\cdot h$ .

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2016 09:56

O tvaru totálního diferenciálu

#2 13. 06. 2016 11:03 — Editoval Bati (13. 06. 2016 11:06)

Re: O tvaru totálního diferenciálu

Zápatí