Matematické Fórum

real8 · 15. 06. 2016 18:57 — Editoval real8 (15. 06. 2016 18:57)

Dobrý den,
mám dotaz ohledně vyšetření druhé podmínky Leibnizova kritéria, tj. že řada "klesá do nuly".
U polynomů jde většinou dobře ukázat, že $a_{n+1} \le a_{n}$ , občas stačí úvaha, ale často se mi stane, že mám např. součin goniometrické funkce a polynomu. Když derivuji, dostanu obvykle výraz o dost složitější, jehož zápornost často není ani zdaleka vidět a musím se často stejně uchýlit k úvaze.
Existuje něco jako aritmetika monotónních funkcí, tj. lze usuzovat něco o monotonii např. součinu dvou klesajících funkcí?
Problém jsem měl např. s dokázáním podmínky u řady $(-1)^{n}\cdot (1-cos\frac{1}{\sqrt{n}})*(1-sin\frac{1}{n})$ .

Případné další tipy jak ověřovat monotonii u problematických řad ocením. Díky

Jenda358

Dobrý den,
způsob, jak co nejlépe vyšetřovat monotonii u Vámi uvedeného příkladu jsem si nerozmýšlel, avšak jako daleko shůdnější cesta než použití Leibnizova kriteria na řadu $(-1)^{n}\cdot (1-cos\frac{1}{\sqrt{n}})*(1-sin\frac{1}{n})$
je použití Leibnizova kriteria na samotnou řadu $(-1)^{n}\cdot (1-cos\frac{1}{\sqrt{n}})$ a následná aplikace Abelova kriteria na ten zbytek.

EDIT: co se týče monotonie posloupnosti $(1-cos\frac{1}{\sqrt{n}})*(1-sin\frac{1}{n})$ , stačí standardně vyšetřit průběh funkce $(1-cos\frac{1}{\sqrt{x}})*(1-sin\frac{1}{x})$ pro kladná $x$ . Derivace sice nevyjde příliš pěkně, ale i tak je celkem snadné si rozmyslet, že bude od nějakého $x_0$ záporná.

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2016 18:57 — Editoval real8 (15. 06. 2016 18:57)

Ověření podmínky Leibnizova kritéria při vyšetřování konvergence řady

#2 15. 06. 2016 20:11 — Editoval Jenda358 (15. 06. 2016 20:34)

Re: Ověření podmínky Leibnizova kritéria při vyšetřování konvergence řady

Zápatí