Matematické Fórum

Tanner · 17. 06. 2016 12:53

Zdravím, potřeboval bych vyřešit konvergenci(divergenci) řady

$\sum_{}^{}\frac{1}{ln^{p}n}$

Musím vyšetřit konvergenci (divergenci) pro intervaly $(0,1> a (1,\infty )$

Podle srovnávacího kritéria mi vyšlo, že pro $p\in (0,1>$ řada diverguje.

Ale netuším, jak určit K/D pro interval $(1,\infty )$

Předem děkuji za odpovědi :)

Pritt · 17. 06. 2016 23:56

↑ Tanner:

Zase si zkus odhadnout, jaký asi bude výsledek.

Víš, že harmonická řada $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$ diverguje. Teďko jaký je vztah mezi tvojí a harmonickou řadou. Výraz $\frac{1}{n}$ bude určitě od nějakého n menší než výraz $\frac{1}{\ln ^p(n)}$ .

Takže to vypadá, že i tvoje řada nejspíš bude divergovat, protože je větší než harmonická řada o nějakého n.

Můžeš si to vyzkoušet například tak, že spočítáš limitu $\lim_{x \rightarrow+\infty}\frac{x}{\ln^p(x)}$ . Pokud ti bude vycházet +nekonečno pro všechny p, tak je to pravda. Navíc tato limita vlastně řeší tvůj příklad, protože:

$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\ln^p(n)} \nl \sum_{n=1}^{+\infty}b_n = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{\ln^p(n)}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{\ln^p(n)} = +\infty$

K výsledku limity dojdeš pro p<=0 okamžitě, pro p > 0 můžeš opakovaně používat l'Hospitala.

Limita je tedy větší než nula a řada bn diverguje, diverguje tedy i řada an.

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2016 12:53

Konvergence řady

#2 17. 06. 2016 13:29 Příspěvek uživatele Pritt byl skryt uživatelem Pritt. Důvod: zbytečné

#3 17. 06. 2016 23:56

Re: Konvergence řady

Zápatí