Matematické Fórum

Tanner · 17. 06. 2016 12:56

Zdravím, potřeboval bych pomoct s vyšetřením konvergence / divergence dvou řad.

$\sum_{}^{} cos\frac{n}{2^n}$

a

$\sum_{}^{} arctg \frac{1}{n^3}$

U těchto dvou řad mě nenapadá žádné použitelné kritérium, respektive nejsem schopný najít žádnou vyšší/nižší řadu pro porovnání.

Pritt · 17. 06. 2016 13:02 — Editoval Pritt (17. 06. 2016 13:04)

↑ Tanner:

Ahoj u první řady není splněno základní kritérium pro konvergenci řad. (nutná podmínka pro konvergenci řad přesně řečeno).

Tanner · 17. 06. 2016 13:04

To znamená, že limita výrazu nejde k 0? Tudíž řada diverguje?

Pritt · 17. 06. 2016 13:05

↑ Tanner:

Ano.

Tanner · 17. 06. 2016 13:53

A ta druhá, prosím? :)

vlado_bb · 17. 06. 2016 14:01

Tanner napsal(a):
To znamená, že limita výrazu nejde k 0?

Nie. Limita je cislo a ako take nemoze ist alebo neist. Limita moze byt alebo nebyt. V tomto pripade je dolezite, ze limita nie je nulova.

Pritt · 17. 06. 2016 14:10 — Editoval Pritt (17. 06. 2016 23:35)

↑ Tanner:

Zkus promyslet jestli jde použít zase to integrální kritérium.

Edit: jde to i bez toho.

Pritt · 17. 06. 2016 23:34 — Editoval Pritt (17. 06. 2016 23:36)

$\sum_{n=1}^{+\infty}a_n = \sum_{n=1}^{+\infty} \arctan \frac{1}{n^3}$

Pokud se ptáš, jak zjistit konvergenci nějaké řady, tak to chce asi prostě nějak vyzkoušet. Další výhoda je mít napočítáno co nejvíce příkladů. Pokud bys chtěl, můžu ti poslat PDFko, kde je několik příkladů řešených, tak třeba by to pomohlo. :)

Když jsem řešil tuto tvojí řadu, tak to probíhalo asi takto: (vybral jsem limitní srovnávací kritérium)

Tipnul jsem si, že řada bude konvergovat - tak se to tak pokusím nastavit.

Zkusím porovnat například s řadou $\sum_{n=1}^{+\infty}b_n = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ . Ta konverguje, dokonce víme, že $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ .

Dobře, teď potřebuji, aby limita podílu $\frac{a_n}{b_n}$ vyšla jako nějaké reálné číslo, pokud nevyjde, musím to upravit, nebo zkusit ukázat, že řada diverguje.

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\arctan \frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^2}}$

Protože jmenovatel i čitatel jde k nule, použiju l'Hospitalovo pravidlo:

$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{(\arctan \frac{1}{x^3})}{(\frac{1}{x^2})'}'= \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x^6}}\cdot \frac{-3}{x^4}}{\frac{-2}{x^3}} = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\frac{x^6}{1+x^6}\cdot \frac{-3}{x^4}}{\frac{-2}{x^3}} = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\frac{-3x^6}{x^4+x^{10}}}{\frac{-2}{x^3}} =\lim_{x \rightarrow +\infty}{\frac{-3x^9}{-2(x^4+x^{10})}} = 0$

Takže máme vyhráno, limita je reálné číslo a řada $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$ konverguje, konverguje tedy i řada $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ .

Tanner · 17. 06. 2016 23:41

Kdyby jsi mi mohl poslat tu sbírku, byl bych ti nesmírně vděčný :) Můžeš to poslat do SZ, prosím? :) A každopádně děkuju za pomoc s tímhle příkladem :)

Tanner · 18. 06. 2016 12:08

↑ Pritt:

Jen teda, pokud bych si tipnul, že řada diverguje, a vybral si např. řadu 1/n...tak mi taky vyjde tímto způsobem limita rovno 0..ne?

Pritt · 18. 06. 2016 12:46

↑ Tanner:

Ano vyjde, ale protože řada 1/n je divergentní a limita vyšla rovná 0, tak o tom nemůžeš nic soudit.
Pokud bys zvolil např porovnání s řadou 1/n^3 tak ti limita vyjde rovna 1. To je v pořádku, ale pokud by si zvolil například porovnání s řadou 1/n^4, tak už ti limita vyjde +nekonečno a z toho už taky nemůžeš nic soudit, protože řada 1/n^4 konverguje, ale limita ti nevyšla jako reálné číslo.

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2016 12:56

Konvergence řady 2

#2 17. 06. 2016 13:02 — Editoval Pritt (17. 06. 2016 13:04)

Re: Konvergence řady 2

#3 17. 06. 2016 13:04

Re: Konvergence řady 2

#4 17. 06. 2016 13:05

Re: Konvergence řady 2

#5 17. 06. 2016 13:53

Re: Konvergence řady 2

#6 17. 06. 2016 14:01

Re: Konvergence řady 2

Tanner napsal(a):

#7 17. 06. 2016 14:10 — Editoval Pritt (17. 06. 2016 23:35)

Re: Konvergence řady 2

#8 17. 06. 2016 23:34 — Editoval Pritt (17. 06. 2016 23:36)

Re: Konvergence řady 2

#9 17. 06. 2016 23:41

Re: Konvergence řady 2

#10 18. 06. 2016 12:08

Re: Konvergence řady 2

#11 18. 06. 2016 12:46

Re: Konvergence řady 2

Zápatí