Matematické Fórum

Trolstover · 27. 06. 2016 17:58

Ahoj,

mam zadany priklad

najdite maticu , ktora ma aspon 7 nenulovych prvkov a jej vlastne cisla su 1 2 a 3.

Podla riesenia , staci spravit lubovolnu maticu , v ktorej diagonale su tieto vlastne cisla .

Potom si najst lubovolnu podobnu maticu k tejto matice a vynasobit ju s nou , a vysledok vynasobit s inverznou maticou k tej podobnej.

S cim si neviem rady je podobna matica , akym sposobom sa hlada? Nikde neviem njast postup k tomu. teda ak mam maticu

1 1 0
1 2 0
1 2 3

ako k nej najdem podobnu maticu?

Pritt · 27. 06. 2016 23:33

↑ Trolstover:

Ahoj, hledaná matice má být 3x3?

Pokud ne, tak hledaná matice je třeba:

$\begin{pmatrix}1 & 0& 0&0&0&0&0 \\ 0 & 2& 0&0&0&0&0 \\ 0 & 0& 3&0&0&0&0 \\ 0 & 0& 0&1&0&0&0 \\ 0 & 0& 0&0&1&0&0 \\0 & 0& 0&0&0&1&0 \\0 & 0& 0&0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

Trolstover · 28. 06. 2016 00:07

↑ Pritt:

tu by ale neplatilo pravidlo na nasobenie matic , resp podmienka.

Tak isto neviem ako si k tomu dosiel , o co mi vlastne islo :)

Pritt · 28. 06. 2016 00:10

↑ Trolstover:

Tato matice je 7x7, zkus najít vlastní čísla této matice, uvidíš, že to jsou čísla 1,2,3.

Trolstover · 28. 06. 2016 00:27

↑ Pritt:

Ano , ja ale mam matica A , ktora je 3x3 , a potrebujem k nej najst maticu podobnu napr B a nasledne

B * A * B^-1

a mal by som najst pozadovanu maticu , teda ktora ma vlastne cisla 1 2 3 .

Tvoja matica je mozno spravna , no neuvadzas postup ako ju najst , o co mi ide :)

Pritt · 28. 06. 2016 01:46 — Editoval Pritt (28. 06. 2016 10:41)

↑ Trolstover:

Podobnou matici k matici $\mathbb{A} = \begin{pmatrix}1 & 1 &0 \\ 1 & 2&0\\ 1&2&3 \end{pmatrix}$

najdeš třeba přímo z definice. Tedy, že A a B jsou podobné, pokud existuje regulární matice X taková, že $\mathbb{A} = \mathbb{X} \cdot \mathbb{B} \cdot \mathbb{X}^{-1}$ (1).

Můžeš tedy vyjádřit X, X^-1 a B obecně a potom vyřešit soustavu rovnic (1).
Což bude technicky docela náročné.

Pokud je ale A diagonalizovatelná, tak se hledání zjednoduší. Pokud je matice A diagonalizovatelná, tak je podobná diagonální matici D. Navíc prvky matice D jsou vlastní čísla matice A a sloupce matice X jsou vlastní vektory matice A.

Jiný způsob bohužel neznám, tak třeba někdo doplní.

kompik · 08. 07. 2016 13:15 — Editoval kompik (08. 07. 2016 13:16)

Chcem maticu 3x3, a chcem aby 1, 2 a 3 bol vlastné čísla. Každé vlastné číslo musí mať vlastný vektor.
Môžem si teda zvoliť tri lineárne nezávislé vektory $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ a hľadať (štandardným spôsobom) maticu takú, že
$\vec v_1A=\vec v_1$
$\vec v_2A=2\vec v_2$
$\vec v_3A=3\vec v_3$

Akurát ak si zvolím tieto vektory príliš jednoduché, nebudem mať zabezpečené, že matica má veľa nenulových prvkov. Napríklad voľba $\vec v_1=(1,0,0)$ , $\vec v_2=(0,1,0)$ , $\vec v_3=(0,0,1)$ by mi dala diagonálnu maticu.

Odhliadnuc od toho, ak si zvolím skoro náhodne tri lineárne nezávislé vektory, tak dostaneme maticu s požadovanými vlastnosťami. Skúsme $\vec v_1=(1,1,0)$ , $\vec v_2=(1,-1,0)$ , $\vec v_3=(1,1,1)$ .

Maticu určenú danými podmienkami nájdeme takto:
$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 &-1 & 0 & 2 &-2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 3 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 3 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac32 &-\frac12 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 3 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac32 &-\frac12 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac12 & \frac32 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 3 \end{array}\right)$

Výsledok sa dá skontrolovať vo WolframAlpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ei … ,2,3%5D%5D

kompik · 08. 07. 2016 13:25

Trolstover napsal(a):
S cim si neviem rady je podobna matica , akym sposobom sa hlada? Nikde neviem njast postup k tomu. teda ak mam maticu

1 1 0
1 2 0
1 2 3

ako k nej najdem podobnu maticu?

Prečo si si vybral práve túto maticu? Ak vyrátaš charakteristický polynóm tak dostaneš $\chi_A(x)=(x-3)(x^2-3x+1)$ .
Číslo 3 je síce jeho koreňom, ale 1 a 2 nie sú. T.j. táto matica nemá čísla 1 a 2 ako vlastné hodnoty, čiže to nie je taká matica, akú hľadáš.

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2016 17:58

Podobna matica

#2 27. 06. 2016 23:33

Re: Podobna matica

#3 28. 06. 2016 00:07

Re: Podobna matica

#4 28. 06. 2016 00:10

Re: Podobna matica

#5 28. 06. 2016 00:27

Re: Podobna matica

#6 28. 06. 2016 01:46 — Editoval Pritt (28. 06. 2016 10:41)

Re: Podobna matica

#7 08. 07. 2016 13:15 — Editoval kompik (08. 07. 2016 13:16)

Re: Podobna matica

#8 08. 07. 2016 13:25

Re: Podobna matica

Trolstover napsal(a):

Zápatí