Matematické Fórum

jamesbond · 28. 06. 2016 16:32

Mám funkci zadanou takhle:

$f(x,y)=\sum_{i=0}^N a_i (\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2})^3$

a potřebuju spočítat integrál přes kruh se středem v (0,0) a poloměrem r. Tzn. potřebuju obsah plochy kterou to "vysekne". $a_i, x_i, y_i$ jsou známé hodnoty.

Jak na to.. nějaký postup? Když to nasypu takhle přímo do Wolframu, tak selže a nic nespočte. Napadlo mě převést to do polárních souřadnic, ale nějak jsem se zasekl.

Na obrázku něco jako tohle, kde hledám tu tmavě oranžovou plochu (nebo světle.. to je jedno, jedna je obsah kruhu minus druhaá:

jelena · 28. 06. 2016 19:22

Zdravím,

co znamená v tomto případě počítat integrál přes kruh? To bych rozuměla, že chceš počítat něco v prostoru. Ale píšeš

Tzn. potřebuju obsah plochy kterou to "vysekne" .....
Na obrázku něco jako tohle, kde hledám tu tmavě oranžovou plochu

Z toho usuzuji, že pokud potřebuješ jen plochu (obsah červeného obrazce) v rovině xOy, potom funkce $f(x,y)=\sum_{i=0}^N a_i (\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2})^3$ je v implicitním tvaru $0=\sum_{i=0}^N a_i (\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2})^3$ (ještě pozor na závorky a na třetí mocninu - kde má přesně být?).

Pokud Tvá funkce prochází středem kruhu (a nejspíš to jde použit i když procházet nebude), nejde Tvá funkice proložit nějakou jinou "rozumně použitelnou funkci"? Předpokládám, že hodnota funkce má spíše numerický charakter (je to nějaká tabulka pro různá i?). Co přesně Tvá funkce vyjadřuje a co je účelem výpočtu?

Viděla jsem i další témata, co jsi založil, nejspíš neodezva je zdůvodněna nepříliš přehlednou formulaci problému (např. v dalším tématu soustava je řešitelná, ale rovnic pro 2 neznáme je příliš a pro 100 rovnic těžko se usuzuje, jelikož není jasná souvislost mezi rovnici apod. stejný dojem mám z dotazu na extrém). Tak toto téma více upřesnit a rozvést, děkuji.

jamesbond · 28. 06. 2016 23:01

Chci spočítat plochu (obsah červeného obrazce).

Závorka a mocnina je správně.

Proložit to ničím jiným nejde, musím počítat na tomhle. $x_i, y_i, a_i$ jsou zadané v tabulce

Moc nevím jak to přesně dál formulovat, nejsem moc "matematicky" založený.

jelena · 29. 06. 2016 00:02

dobře, děkuji, závorku zvětším, vypadá to tak: $0=\sum_{i=0}^N a_i $\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2}$^3$

musím počítat na tomhle. $x_i, y_i, a_i$ jsou zadané v tabulce

pokud jsou zadány v tabulce, potom je to skoro jistě proložitelné některou vhodnou křivkou.

Moc nevím jak to přesně dál formulovat, nejsem moc "matematicky" založený.

nejlépe způsobem: jak jsi k problému přišel, co je účelem výpočtu (jak bude využit), jak vznikla data v tabulce, ukázat alespoň část tabulky, jak byla sestavena funkce f(x,y) a co tato funkce prakticky znamená atd. Nepoužívat nic složitého a raději to podrobně popsat slovně + ukázat data, se kterými pracuješ. Rozpracuj to tak, prosím.

jamesbond

Data v tabulce jsou k ničemu, protože to ničím jiným proložit nesmím. Plus těch funkcí mám několik z různých tabulek a když to vykreslím, tak každá ta funkce vypadá úplně jinak (jednou se blíží kubice, jinde kvadrice nebo sinu), ale obecně se neblíží ničemu.

Cíl je spočítat tu plochu. K čemu to přesně bude dobré nevím, je to zadání ze školního příkladu a nevím co s tím.

jelena · 29. 06. 2016 11:20

↑ jamesbond:

děkuji, ale bohužel s takovou informaci se moc nakládat nedá. Nejvíce pomůže (a nemělo by to být neschůdné, když je to školní zadání), pokud to zadání sem umístíš celé + odkaz na studijní materiál, ke kterému se zadání vztahuje.

Eratosthenes · 30. 06. 2016 09:24

ahoj ↑ jamesbond:

Nejjednodušší by asi byla metoda Monte Carlo.

jelena · 30. 06. 2016 11:06

↑ Eratosthenes:

zdravím Vás a děkuji, nejspíš na některou numerickou metodu nakonec budeme muset dojit. Ale máte jasno v samotném původním zadání? Má se pracovat v rovině nebo v prostoru apod.? Děkuji.

Eratosthenes · 13. 07. 2016 19:19

Zravím ↑ jelena:,

podle obrázku je to rovinný útvar.

jelena · 13. 07. 2016 21:04

↑ Eratosthenes:

Také pozdrav a děkuji. Potom ovšem v rovině f(x,y)=0 jde pro zadanou funkci $f(x,y)=\sum_{i=0}^N a_i (\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2})^3$ použit návrh z ↑ příspěvku 2:, tj. přepis na $0=\sum_{i=0}^N a_i $\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2}$^3$ (což ovšem vyžaduje, že jsou taková $a_i$ , že součet bude nebývat 0 hodnotu, jelikož výraz $$\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2}$^3$ je jen kladný (snad "jen vzácně" 0 pro některé hodnoty).

Vy nejspíš znáte tento typ úlohy :-) Já bych přeci jen prosila kolegu o původní zadání (nějak mi nejde uvázat obrázek v rovině se zadáním funkce $f(x, y)$ ). Vzhledem ke staří původního příspěvku bych také předpokládala, že kolega již má vyřešeno všechno.

Eratosthenes · 14. 07. 2016 12:21

zdravím ↑ jelena:,

>> Potom ovšem v rovině f(x,y)=0 ...

To jistě, ale nedovedu si dost dobře představit, jak by se taková mez lovila klasickým integrálem. Metodou Monte Carlo to ale stejně půjde řešit jen pro konkrétní případy, tj. konkrétní a_i, konkrétní r.

Přesné zadání by to samozřejmě chtělo. Je-li něco takového zadáním školního příkladu, pak si takovou školu dost dobře nedokážu představit...

Rumburak

↑ jamesbond:

Zdravím.

Píšeš něco v tom smyslu, že matematika není Tvojí silnou stránkou, což je patrné již z formulace zadání.
Pokusím se to rozebrat ne proto, abych Tě tím deprimoval, ale ve snaze přispět k případné nápravě.

Základem matematického uvažování je přesné a jasné vyjadřování, což Tvému zadání poněkud chybí.

Nadpis tématu "Integrál přes kruh" evokuje představu, že se má spočítat $\iint_K g(x, y) \d x \d z$ , kde $K$ je
nějaký kruh a $g$ nějaká funkce. V textu je pak upřesněno, že jde o kruh se středem [0,0] a poloměrem r.

Ale není explicite řečeno, kterou funkci požadováno integrovat. Snad danou funkci

(1) $f(x,y)=\sum_{i=0}^N a_i (\sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2})^3$ ?

To by se dalo očekávat. Ale potom mi není jasné, jak s integrálem $\iint_K f(x, y) \d x \d y$ souvisí obrázek
kruhu rozděleného jakousi křivkou na dvě komponenty s tím, že má být spočten obsah těchto komponent
(resp. aspoň jedné z nich). K takové úloze nutno znát dělící křivku, o níž ale zadání mlčí. Nebo ta křivka nějak
souvisí s funkcí (1) ? Jestliže ano, potom je potřeba říci, jak.

Připadá mi, že jde o jakésí promíchání dvou různých úloh.

Eratosthenes · 14. 07. 2016 18:07

ahoj ↑ Rumburak:,

nějak tak jsem uvažoval i já: Zpočátku to vypadá jako $\iint_K f(x, y) \d x \d y$ , kde f(x,y) je ta suma. Ale obrázek a text "obsah oranžové části" je něco úplně jiného. To zase vypadá jako obsah průniku kruhu s plochou, kde hraniční křivka je f(x,y)=0. A to mě napadla jen ta metoda Monte Carlo...

Rumburak · 19. 07. 2016 11:11

↑ Eratosthenes:
Ahoj. Ano, takováto interpretace "zadání" dává smysl.

Matematické Fórum

#1 28. 06. 2016 16:32

Integrál přes kruh

#2 28. 06. 2016 19:22

Re: Integrál přes kruh

#3 28. 06. 2016 23:01

Re: Integrál přes kruh

#4 29. 06. 2016 00:02

Re: Integrál přes kruh

#5 29. 06. 2016 08:05 — Editoval jamesbond (29. 06. 2016 08:19)

Re: Integrál přes kruh

#6 29. 06. 2016 11:20

Re: Integrál přes kruh

#7 30. 06. 2016 09:24

Re: Integrál přes kruh

#8 30. 06. 2016 11:06

Re: Integrál přes kruh

#9 13. 07. 2016 19:19

Re: Integrál přes kruh

#10 13. 07. 2016 21:04

Re: Integrál přes kruh

#11 14. 07. 2016 12:21

Re: Integrál přes kruh

#12 14. 07. 2016 13:48 — Editoval Rumburak (14. 07. 2016 14:18)

Re: Integrál přes kruh

#13 14. 07. 2016 18:07

Re: Integrál přes kruh

#14 19. 07. 2016 11:11

Re: Integrál přes kruh

Zápatí