Matematické Fórum

Tanner · 30. 06. 2016 19:22 — Editoval Tanner (30. 06. 2016 19:26)

Zdravím, potřeboval bych zkontrolovat, popřípadě dovysvětlit nějaké drobnosti v důkazu Taylorovy věty..

Dokazovaná věta:

Nechť $f:R^{r}->R$ má spojité parciální derivace až do řádu $m+1$ na okolí bodu $a$ . $a$ patří do $D(f)$ , okolí bodu $a$ je podmnožinou $D(f)$

a $b\in R^{r}$ takové, že $a+b\in$ okolí $a$ . Pak existuje $\tau \in (0,1)$ .. (Jaktože existuje ?) pro které platí:

$f(a+b)=f(a)+df(a)(b)+\frac{1}{2!}d^{2}f(a)(b)+...+\frac{1}{m+1!}d^{(m+)1}f(a)(b)$

Důkaz:

Definujeme si pomocnou funkci $F:R->R$
$F(b)=f(a+th), t\in (-\varepsilon ,1+\varepsilon )$ , kde $\varepsilon >0$ je tak malé, aby $\{a+tb:t\in (-\varepsilon ,1+\varepsilon )\}\subset$ okolí bodu $a$

Jakto, že zrovna funkci F(b)=f(a+th)? Nevidím v tom žádnou souvislost..

Dalšími kroky se dostanu až k
$F^{(m+1)}(t)=d^{(m+1)}f(a+tb)(b)$ a tedy $F^{(m+1)}(\tau )=d^{(m+1)}f(a+\tau b)(b)$

Podle Taylorovy věty aplikované na funkci F na intervalu $<0,1> \exists \tau \in (0,1)$

$F(1)=F(0)+F'(0)\cdot 1+\frac{F''(0)}{2!}\cdot 1^{2}+...+\frac{F^{(m+1 }}{(m+1)!}\cdot 1^{(m+1)!}$

(Proč zrovna v bodě 1?)
a z toho mi plyne původní dokazovaná věta (jakým způsobem plyne?)

Netuším, jestli je důkaz napsán úplně správně, kdyžtak prosím o kontrolu.
Jde mi především o ty otázky,

Z jakého důvodu existuje $\tau$ ? a proč patří zrovna do $(0,1)$ ?
Proč jsme si definovali právě tuto funkci F ? a navíc v bodě b?

Rumburak

Ahoj.

Určitě je chyba (zejména) v definici pomocné funkce $F$ . Mělo tam být $F(t) := f(a+th), t\in (-\varepsilon , +\varepsilon )$ .
To je funkce jedné proměnné, jejíž rozvoj pak provádíme v okolí bodu 0 (tak, abychom dostali TŘ se středem v bodě 0).
Její tvar pak bude

$F(0)+F'(0)\cdot t+\frac{F''(0)}{2!}\cdot t^{2}+...+\frac{F^{(m+1)}(0)}{(m+1)!}\cdot t^{m+1} + ...$

Tanner · 02. 07. 2016 10:15 — Editoval Tanner (02. 07. 2016 11:34)

↑ Rumburak:

No, moc si nedokážu představit dostat u zkoušky otázku "a proč zrovna definujeme tuhle funkci?" A odpovědět tohle..Mohl by jsi to, prosím, rozepsat více?

A můžu se zeptat, jaký je rozdíl mezi mezi $=$ a $:=$ ?

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2016 19:22 — Editoval Tanner (30. 06. 2016 19:26)

Taylorův vzorec - kontrola důkazu

#2 01. 07. 2016 09:23 — Editoval Rumburak (01. 07. 2016 11:34)

Re: Taylorův vzorec - kontrola důkazu

#3 02. 07. 2016 10:15 — Editoval Tanner (02. 07. 2016 11:34)

Re: Taylorův vzorec - kontrola důkazu

Zápatí