Matematické Fórum

liamlim

1) Všechny prvočíselné dělitele čísla $x^4 - x^2y^2 + y^4$ jsou tvaru $6k+1$ .

2) Všechny prvočíselné dělitele čísla $x^2 + xy + y^2$ jsou buď 3 nebo tvaru $6k+1$ .

Pozn.: Na důkaz podle mě není možné jít přímo přes nějaké zbytky, neboť součin dvou čísel tvaru $6k-1$ je tvaru $6k+1$ , takže by bylo třeba nějak vyloučit tuto situaci. V mém důkaze jsem na to šel celkem velkou oklikou, důkaz se mi líbí, ale připadá mi až moc komplikovaný. Proto píšu, jsem zvědavý, jak by se na důkaz tvrzení šlo nějak "napřímo". Díky.

Edit.: $x$ , $y$ jsou samozřejmě nesoudělná

nikoma · 06. 07. 2016 00:31

1. uloha

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2. úloha

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

liamlim · 06. 07. 2016 00:41

↑ nikoma:

Já jsem to dělal v podstatě podobně. Úloha mě napadla právě když jsem se snažil pochopit reciprocitu. Nenapadá tě / vás zobecnění pro $\frac{x^n-y^n}{x+y}$ ? jsem presvedcen ze pro prvočíselné n jediný dělitel tohoto čísla který není tvaru kn+1 může být n, a to pokud n dělí x+y.

Toto absolutně neumím dokázat, ale ani vyvrátit.

nikoma · 06. 07. 2016 01:17

↑ liamlim:

Poptal jsem se pár lidí a jeden mi poslal tohle

http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_276.htm

liamlim

Nechci zakládat nové téma, protože si to tato úloha ani nezaslouží. Kdyby ale někdo měl zájem o jednu podobnou (a lehkou) větičku, pak:

Buďte $x$ , $y$ nesoudělná.

(1) $x^2+y^2$ nemá dělitel tvaru $4k-1$ .

(2) Pro každé prvočíslo $n$ dělící $x^2+y^2$ platí, že $n$ dělí $(-xy)^{\frac{n-1}{2}} - 1$

(3) Buď $n$ prvočíselný dělitel $x^2+y^2$ větší nebo roven 3. Pak $n$ nedělí $\frac{x^p + y^p}{x+y}$ pro žádné prvočíslo $p$ .

(4) Důsledkem těchto tvrzení by mělo být, že pro každé prvočíslo $n\ge 3$ existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru $kn+1$ . Ale tady si nejsem jistý a musím si pár stránek proškrtaného textu znovu projít a případně najít chybu. To udělám až (když) se mi bude chtít.

edit: nezapomeňte na fakt, že součin dvou čísel tvaru $4k-1$ je tvaru $4k+1$ ... Není tedy zase možné přímočaře použít zbytků.