Matematické Fórum

lenkap · 02. 06. 2009 15:46

Ahojky, mohl by mi někdo z vás pomoct vypočítat 2 příkladečky?
Na obsah plochy ohraničenou funkcemi 1) xy=4,y=1,y=4,x=0
a dále příkladek na určení délky křivky x=t^2, y=t/3*(t^2-3) mezi průsečíky s osou x?
Prosím už se s tím trápím 2 dny a nevím jsi rady!
Předem moc děkuji!

Marian · 02. 06. 2009 16:18 — Editoval Marian (02. 06. 2009 17:09)

ad 2) Průsečíky s osou x mají y-ovou souřadnici nulovou. Abychom tedy našli příslušné hodnoty parametru, pro který to nastává, je zapotřebí řešit rovnici y(t)=0. Snadno najdeš její řešení, tj. t_1=0, t_2=sqrt(3) a t_3=-sqrt(3). Jen si nejsem teď jistý, jak je zadání myšleno. Jsou tam dva kusy křivky (a tomu odpovídájící tři dělící body parametru t), které protínají osu x. Zadání neříká, jestli mám uvažovat oba, nebo jen jeden. Řešení by se dále lišilo jen integračními mezemi. Stačí nyní derivovat funkce x(t) a y(t) a dosadit tyto výrazy do známého rektifikačního vzorce pro výpočet délky křivky zadané parametrickými rovnicemi:
$l=\int_{a}^{b}\sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\,\mathrm{d}t.$
Grafický náhled situace s volbou parametru v intervalu [-2,2] - tyto hodnoty parametru na grafu níže nehledej, mají jiný význam.

lenkap · 02. 06. 2009 16:35

hmmm... tak to taky nevím jestli jenom jeden nebo dva, ale já bych asi počítala s jedním! Jinak myslíš že mám derivaci strávně? x=t^2 => 2t,
y= t/3*(t^2-3) => 1/3*(t^2-3)+t/3*2t

misak · 02. 06. 2009 17:06

Takže k tomu prvnímu příkladu
Když si nakreslíš graf, zjistíš, že ti ty funkce vytínají obrazec. Ten obrazec se dá rozdělit na obdélník (červený šraf) a takový nedokonalý trojúhelník (modrý šraf).

Abys mohl vypočítat obsah plochy, musíš zjistit průsečíky P1 a P2, které jsou:
P1[1;4]
P2[4;1]

No a teď to vypočítáš takhle:
$\int_{0}^{1}4dx + \int_{1}^{4}\frac{4}{x}dx-\int_{0}^{4}1dx = 4ln4$
(spočítáš obsah toho červeného obdélníka, přičteš obsah toho modrého "trojúhelníka" a odečteš obsah zeleného obdélníka). Vycházíš z definice určitého integrálu.

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2009 15:46

Užití určitých integrálů

#2 02. 06. 2009 16:18 — Editoval Marian (02. 06. 2009 17:09)

Re: Užití určitých integrálů

#3 02. 06. 2009 16:35

Re: Užití určitých integrálů

#4 02. 06. 2009 17:06

Re: Užití určitých integrálů

Zápatí