Matematické Fórum

tumas · 04. 08. 2016 19:12

Dobrý den,

prosím o radu. Pokud mám tři vlastní vektory

a= $$\begin{matrix}-9 \\ -3\\ -5 \end{matrix}$$
b= $$\begin{matrix}4 \\ 1\\ 2 \end{matrix}$$
c= $$\begin{matrix}2 \\ 1\\ 1 \end{matrix}$$

a jejich vlastní čísla:
$\lambda_a$ = 2
$\lambda_b$ = 1
$\lambda_c$ = -3

Jak zjistím matici lineárního zobrazení? Nestačí vektory vynásobit vlastními čísly?
Předem velice děkuji za odpověď.

Rumburak · 05. 08. 2016 10:37

↑ tumas:
Ahoj.

Svoji hypotézu zkus ověřit zkouškou. :-)

Rozumím úloze tak, že máme zjistit matici $A$ , jejímiž vlastními čísly jsou daná čísla $\lambda_a , \lambda_b , \lambda_c$ ,
jimž odpovídají vlastní vektory $a, b, c$ , které jsou rovněž dány.

Vyjděme z rovnice $(A-\lambda E) x = 0$ , kde $E$ je rozměrově odpovídající jednotková matice ( $A$ patrně má být
typu [3, 3], taktéž i $E$ ). Dosazením vlastních čísel a příslušných vlastních vektorů dostaneme rovnice

$(A-\lambda_a E) a = 0$ ,
$(A-\lambda_b E) b = 0$ ,
$(A-\lambda_c E) c = 0$ ,
po úpravě

$Aa = \lambda_a a$ ,
$Ab = \lambda_b b$ ,
$Ac = \lambda_c c$ .

"Vektortová" rovnice $Aa = \lambda_a a$ (a obdobně i každá ze zbývajících dvou) je ve skutečnosti soustavou tří
"číselných" rovnic s neznámými, jimiž jsou prvky matice $A$ , jejichž počet je 3 * 3 = 9. Celkem tedy máme devět
"číselných" rovnic o devíti "číselných" neznámých.

Matematické Fórum

#1 04. 08. 2016 19:12

Matice lineárního zobrazení

#2 05. 08. 2016 10:37

Re: Matice lineárního zobrazení

Zápatí