Matematické Fórum

perwin · 10. 08. 2016 17:21

Zdravím,

potřeboval bych vysvětlit řešení úlohy 3.59 z učebnice Planimetrie pro gymnázia.
Úloha zní:
„V rovině je dáno pět různých bodů S1, S2, S3, S4, S5, které neleží v přímce. Sestrojte všechny uzavřené lomené čáry ABCDEA, pro něž jsou body S1, S2, S3, S4, S5 po řadě středy stran AB, BC, CD, DE, EA.“

Řešení v učebnici zní:
„Bod A je samodružný bod středové souměrnosti $S = S(S_5) \circ S(S_4) \circ S(S_3) \circ S(S_2) \circ S(S_1)$ , a je tedy středem každé úsečky XX', kde $S: X \rightarrow X'$ .“

Podle GeoGebry to tak opravdu je (je krásné si tahat libovolně za bod X a sledovat, že se mnohoúhelník nehýbe ani o píď :-) ):
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-08/42103_mnohouhelnik-podle-stredu-stran.png

První věta souvětí z řešení je mi jasná - obrazem bodu A ve středové souměrnosti se středem S1 je bod B, obrazem bodu B ve středové souměrnosti se středem S2 je bod C, ... , až nakonec obrazem bodu E ve středové souměrnosti se středem S5 je bod A.
Ale druhá věta mi už tak jasná není...
V učebnici mi navíc chybí nějaký důkaz, že je řešení opravdu pouze jedno jediné a že nemůže takových mnohoúhelníků existovat víc.

Navíc nebýt řešení v učebnici, nepřišel bych na něj - je na to nějaký univerzální postup, jak podobnou úlohu vyřešit?

Díky za odpovědi.

Eratosthenes · 10. 08. 2016 18:14

ahoj ↑ perwin:,

bod A je samodružný ve složené středové souměrnosti - to je ti jasné. Samodružný bod ve středové souměrnosti je ovšem jedině střed souměrnosti. Obraz X' libovolného bodu X v této souměrnosti najdeš tak, že ho zobrazíš postupně ve všech pěti středových souměrnostech - dostaneš bod X' jako obraz bodu X v jisté středové souměrnosti. Jak najdeš střed souměrnosti úsečky XX' ?

Lomená čára je jedna jediná, protože obrazem libovolného bodu v libovolné středové souměrnosti je právě jeden bod.

Rumburak

↑ perwin:
Ahoj.

Otázky k zamyšlení: Jaké zobrazení vznikne složením

a) dvou (různých) středových souměrností,
b) středové souměrnosti a posunutí ?

perwin · 04. 09. 2016 10:52 — Editoval perwin (04. 09. 2016 10:54)

↑ Rumburak:
Tak jsem se nad tím zamýšlel, a dospěl jsem k závěru, že:
a) Složením dvou různých středových souměrností vznikne posunutí T ve směru o délce .

b) Složením třech různých středových souměrností tedy vlastně skládám posunutí a jednu středovou souměrnost, takže dostanu jakousi posunutou středovou souměrnost, kde střed vzniklé středové souměrnosti dostanu jako (kde má směr a délku ) nebo jako (kde má směr a délku ).

Pokud bych se to tedy pokusil zobecnit, tak skládáním sudého počtu () středových souměrností dostanu zobrazení :
$Z_{sude}(n) = S(S_n) \circ S(S_{n-1}) \circ \ldots \circ S(S_2) \circ S(S_1)$
které můžu zapsat také jako:
$Z_{sude}(n) = T_{n/2} \circ T_{n/2-1} \circ \ldots \circ T_2 \circ T_1$
kde
$T_i=S(S_{2i}) \circ S(S_{2i-1})$
A výsledné zobrazení je tedy posunutím nebo identitou (pokud složením složením všech posunutí až na jedno libovolné dostanu posunutí k němu inverzní - stejné délky a opačného směru).
Z toho by se dal vyvodit závěr, že najít mnohoúhelník, u kterého mám dán sudý počet středů stran, je možné pouze tehdy, pokud platí výše zmíněné pravidlo pro středy stran... jinak takový mnohoúhelník neexistuje (protože posunutí nemá žádné samodružné body)?

A pro složení lichého počtu středových souměrností dostanu zobrazení :
$Z_{liche}(n) = S(S_n) \circ S(S_{n-1}) \circ \ldots \circ S(S_2) \circ S(S_1)$
$Z_{liche}(n) = S(S_n) \circ T_{(n-1)/2} \circ T_{(n-1)/2-1} \circ \ldots \circ T_2 \circ T_1$
$Z_{liche}(n) = S(S_n) \circ Z_{sude}(n-1)$
A výsledné zobrazení je tedy buď posunutou středovou souměrností nebo (v případě identity) původní středová souměrnost .

Pro by potom v mém příkladu platilo, že výsledné zobrazení je středová souměrnost, a potom je logické, že bod A jakožto jediný samodružný bod ve výsledné středové souměrnosti musí být jejím středem...

Jsou mé úvahy správné?
Díky za rady.

Rumburak

↑ perwin:

Připadá mi , že uvažuješ správně.
Lze postupovat i následovně:

Obraz $f_i(X)$ bodu $X$ při středové souměrnosti $f_i$ o středu $S_i$ má tu vlastnost, že vektor $f_i(X) - S_i$
je vektorem opačným k $X - S_i$ , tedy $f_i(X) - S_i = S_i - X$ , čili $f_i(X) = S_i + (S_i - X)$ .

Máme tedy vztahy

(1) $B = S_1 + (S_1 - A)$ ,
(2) $C = S_2 + (S_2 - B)$ ,
(3) $D = S_3 + (S_3 - C)$ ,
(4) $E = S_4 + (S_4 - D)$ ,
(5) $A = S_5 + (S_5 - E)$ .

Když z rovnic (1), (2) vyloučíme bod $B$ , dostaneme

$C = S_2 + (S_2 - (S_1 + (S_1 - A))) = A + 2(S_2- S_1)$ ,

takže do bodu $C$ vede též posunutí bodu $A$ vektorem $2(S_2-S_1)$ . Analogicky

(6) $E = C + 2(S_4- S_3) = A + 2(S_2- S_1) + 2(S_4- S_3)$ .

Bod $E$ je spojen s bodem $A$ jednak vztahem (5) a mimo to ještě vztahem

(7) $E = A + 2(S_2- S_1) + 2(S_4- S_3)$

plynoucím z (6). Vyloučením bodu $E$ ze soustavy rovnic (5), (7) dostaneme podmínku pro bod $A$ .