Matematické Fórum

adam.beno · 17. 08. 2016 08:55

Ahojte, pokusam sa odvodit kovariancnu maticu sumu procesu pre Kalmanov filter. Dynamicky system je popisany takto:
$x_{k+1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & \Delta t & 0 & \frac{1}{2}\Delta t^2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t & 0 & \frac{1}{2}\Delta t^2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \dot x \\ \dot y \\ \ddot x \\ \ddot y\end{bmatrix}_{k}$ .
Obecne sa da kovariancna matica zapisat ako :
$Q = \begin{bmatrix}\sigma_{x}^2 & \sigma_{xy} & \sigma_{x \dot x} & \sigma_{x \dot y} & \sigma_{x \ddot x} & \sigma_{x \ddot y} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{y}^2 & \sigma_{y \dot x} & \sigma_{y \dot y} & \sigma_{y \ddot x} & \sigma_{y \ddot y} \\ \sigma_{\dot x x} & \sigma_{\dot x y} & \sigma_{\dot x}^2 & \sigma_{\dot x \dot y} & \sigma_{\dot x \ddot x} & \sigma_{\dot x \ddot y} \\ \sigma_{\dot y x} & \sigma_{\dot y y} & \sigma_{\dot y \dot x} & \sigma_{\dot y}^2 & \sigma_{\dot y \ddot x} & \sigma_{\dot y \ddot y} \\ \sigma_{\ddot x x} & \sigma_{\ddot x y} & \sigma_{\ddot x \dot x} & \sigma_{\ddot x \dot y} & \sigma_{\ddot x}^2 & \sigma_{\ddot x \ddot y} \\ \sigma_{\ddot y x} & \sigma_{\ddot y y} & \sigma_{\ddot y \dot x} & \sigma_{\ddot y \dot y} & \sigma_{\ddot y \ddot x} & \sigma_{\ddot y}^2\end{bmatrix}$
kde na diagonale su rozptyli jednotlivych velicin a mimo ich kovariancie.
Je mi jasne ze kazdy prvok by sa dal spocitat podla vztahu
$\operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))(y_{i}-E(Y)).$
no na jednej stranke kde sa venovali Kalmanovmu filtru som videl vztah
$Q = G\cdot G^T \cdot \sigma_a^2$ kde $G = \begin{bmatrix}0.5dt^2 & 0.5dt^2 & dt & dt & 1.0 & 1.0\end{bmatrix}^T$
a $\sigma_a$ je sum procesu zrychlenia, a teda dostali ze
$Q=\left[\begin{matrix}0.25 \Delta t^{4} & 0.25 \Delta t^{4} & 0.5 \Delta t^{3} & 0.5 \Delta t^{3} & 0.5 \Delta t^{2} & 0.5 \Delta t^{2}\\0.25 \Delta t^{4} & 0.25 \Delta t^{4} & 0.5 \Delta t^{3} & 0.5 \Delta t^{3} & 0.5 \Delta t^{2} & 0.5 \Delta t^{2}\\0.5 \Delta t^{3} & 0.5 \Delta t^{3} & \Delta t^{2} & \Delta t^{2} & 1.0 \Delta t & 1.0 \Delta t\\0.5 \Delta t^{3} & 0.5 \Delta t^{3} & \Delta t^{2} & \Delta t^{2} & 1.0 \Delta t & 1.0 \Delta t\\0.5 \Delta t^{2} & 0.5 \Delta t^{2} & 1.0 \Delta t & 1.0 \Delta t & 1.0 & 1.0\\0.5 \Delta t^{2} & 0.5 \Delta t^{2} & 1.0 \Delta t & 1.0 \Delta t & 1.0 & 1.0\end{matrix}\right]$ .
Nieje mi jasny myslienkovy pochod, alebo aj korektne odvodenie medzi vztahom kde Q je zapisane pomocou covariancii a vztahom kde Q je zapisane ako sucin G a rozptylu zrychlenia.
Je to len nejaky empiricky vztah alebo to vyplyva z nejakeho hlbsieho vhladu do problemu? Dakujem za pripadne odpovede.
Adam

Matematické Fórum

#1 17. 08. 2016 08:55

Odvodenie Kovariancnej matice sumu procesu pre Kalmanov filter.

Zápatí