Matematické Fórum

canicula · 20. 08. 2016 08:24

Dobrý den,
mohla bych se zeptat na pár otázek k řešení následující úlohy?

Země o poloměru $R = 6371 km$ a hustotě $\rho = 5513 kgm^{-3}$ a $G = 6.67 \cdot 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$ . Jaký je výraz pro zlomek hmotnosti části Země obsažené v kouli o poloměru $r$ , kde $r \le R$ ?
Vzduchoprázdný tunel o poloměru 500 km je vykopán mezi severním a jižním pólem skrz střed Země. V čase t = 0 je míč o hmotnosti m upuštěn z klidu svisle dolů do tunelu na severním pólu. Zanedbej odpor vzduchu, teplotní efekty a hmotnost vykopané země k udělání tunelu a ukaž, že pozice míče v čase t je $r(t) = R \cos (\omega t)$ a urči periodu oscilace.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-08/73569_WP_20160820_001.jpg

Pro ten hmotnostní zlomek můžu považovat, že pozice míče r je poloměrem dané myšlené menší koule, že? Ale to se s časem mění, jak tedy získám tady poměr? Hmotnost této menší koule bude:
$m' = \rho \frac{4}{3} \pi r^3$ .

Co se týče ověření uvedeného vztahu, tak nevím kde začít. Obecné řešení pohybové rovnice by zde mělo být:
$r(t) = A \cos(\omega t) + B \sin (\omega t)$ ,
kde A a B jsou nějaké konstanty, že?

Perioda tedy díky gravitační síle bude:
$T = \pi \sqrt{\frac{m}{G \rho \frac{4}{3} \pi m}} = \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$ ,
což je $T = 42$ minut.

Děkuji předem za jakoukoli odpověd!

Jj · 20. 08. 2016 09:20

↑ canicula:

Dobrý den.

Řekl bych, že uvažujete správně.

Gravitační zrychlení v tunelu ve vzdálenosti 'r' od středu země (závisí jen na hmotnosti hmoty v kouli o poloměru r) bude

$a_r=-G\,\frac{m'}{r^2}= -\rho G\,\frac{4}{3} \pi r$

--> pohybová rovnice $\ddot{r} + \omega^2 r = 0, \quad \omega = \sqrt{\rho G\,\frac{4}{3} \pi}$ ,

ta má Vámi uvedené obecné řešení $r(t) = A \cos(\omega t) + B \sin (\omega t)$ s integrtačními konstantami A, B - jejich hodnota se určí z počátečních podmínek:

v čase t = 0 je

$r = R, \dot{r}=0 \quad \Rightarrow \quad R= A \cos(0) + B \sin (0), \ 0 = -A\omega \sin 0 +B\cos 0$

--> A = R, B = 0 --> vztah $r(t) = R \cos (\omega t)$ , což je periodický pohyb s periodou, kterou uvádíte.

zdenek1 · 20. 08. 2016 09:22

↑ canicula:
Není mi úplně jasné, na co se ptáš.
na fyziku se koukni sem 3. příspěvek. Další diskuze je taky zajímavá, ale asi tě nebude zajímat.
Tady je sestavená ta dif. rovnice.

Periodu máš dobře, číselně to taky sedí.

canicula · 22. 08. 2016 15:18

Děkuji :)
A co kdyby ten tunel byl vykopán na rovníku? Měl by opět 500 km v poloměru a míč by měl opět hmotnost m. V té pohybové rovnici poté bude nutné zohlednit i rotaci Země, ale stále by to mělo by být vyjádřeno jako:
$\ddot{r} = f(f)$ . Použiji tedy odstředivou sílu: $F_o = \frac{L^2}{mr^3}$ , kde $L$ je moment hybnosti.
Bude to pak:
$r(t) = A \cos(\omega t) + B \sin (\omega t)$
$\dot{r}(t) = -A \omega \sin (\omega t) + B \omega \cos (\omega t)$
$\ddot{r}(t) = - A \omega^2 \cos (\omega t) - B \omega^2 \sin (\omega t) = - \omega^2 r(t)$ ? Co však s $F_o$ ?
Dále mám určit nejbližší vzdálenost míče upuštěného dolů tímto 'rovníkovým tunelem', na kterou se míč dostane ke středu Země. To mám udělat s použitím Keplera zákona ve tvaru:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$
a zanedbáním Coriolisovy síly. Pro periodu oscilace mohu vzít stejnou hodnotu jako u 'pólového tunele', 42 minut.

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2016 08:24

Tunel napříč zeměkoulí

#2 20. 08. 2016 09:20

Re: Tunel napříč zeměkoulí

#3 20. 08. 2016 09:22

Re: Tunel napříč zeměkoulí

#4 22. 08. 2016 15:18

Re: Tunel napříč zeměkoulí

Zápatí