Matematické Fórum

↑ Contemplator:
No tak si představ, že máš dvě kuličky se stejným poloměrem.
Jedna je olověná a plná.
Druhá, ta je taky olověná, ale má uvnitř dutinu.
Proč by na ně měly při pádu působit různé odporové síly?

↑ Contemplator:
To je první "protiintuitivnost", se kterou se při fyzice studenti setkávají. Vtip je v tom, že odporová síla tělesa padajícího vzduchem v gravitačním poli závisí na TVARU, ne na HMOTNOSTI. Selhávání selského rozumu je způsobené s tím, že si představíš "lehké" pírko a "těžké" železo a špatně zobecníš tak, že "peří padá pomaleji".

Pokud budeš mít dvě koule se stejným poloměrem a o různé hustotě, bude na každou působit jiná gravitační síla. Právě taková, aby oběma udělila stejně velké zrychlení g.

S odporem prostředí je to trochu složitější, ale podle uspořádání je v prvním přiblížení odpor úměrný rychlosti (malá pomalu se pohybující kulička) nebo druhé mocnině rychlosti ("deska"), ale není závislý na hmotnosti padajícího tělesa.

↑ Contemplator:
Ano, přesně tak. Kdybys dal hmotu pírka do koule o stejném průměru jako kámen, bude při jejich pohybu prostředím působit na obě stejná odporová síla.


Co se týče té konstanty, tak to je vlastně docela zajímavé. My totiž můžeme hovořit o dvou hmotnostech: Setrvačné a gravitační.

Setrvačná hmotnost je konstanta úměrnosti ve 2. Newtonově zákoně. Vlastně jde o konstantu, která svazuje působící sílu F a zrychlení, jaké tato síla vyvolá:


Gravitační hmotnost je mírou gravitačního působení. Vychází z Newtonova gravitačního zákona:


V zásadě by mohly být tyto dvě hmotnosti odlišné. A to je pak docela podstatné, protože gravitační pole by na těleso o gravitační hmotnosti mG působilo silou:


Setrvačná hmotnost tělesa mS by byla urychlována touto silou se zrychlením:


a tedy po dosazení:


Tedy v zásadě by mohla různě těžká tělesa padat s různým zrychlením, protože ani poměr těchto hmotností by nemusel být v prvním přiblížení konstantní.

Naštěstí pro nás je svět v tomto jednodušší, protože je experimentálně velmi přesně ověřeno, že poměr gravitační a setrvačné hmotnosti je právě jedna. Tedy, protože absolutně přesné měření neexistuje, ví se, že:


Proto tedy můžeme bez rizika pokládat gravitační a setrvačnou hmotnost pouze za jeden údaj, za hmotnost.


Teď ke tvé vlastní otázce, To "g" je vlastně intenzita gravitačního pole, tedy její velikost, při povrchu země. Číselně je to tedy síla, jakou by gravitační pole působilo na jednotkovou gravitační hmotnost. Protože je ale gravitační a setrvačná hmotnost číselně stejná, je to současně zrychlení, jaké této jednotkové setrvačné hmotnosti udělí.

Teď si představ, že bude v takovém poli těleso o hmotnosti m násobku jednotkové hmotnosti. Ta to bude určitě působit m-násobná síla. Zrychlení bude poměr této síly a hmotnosti, tedy po dosazení a vykrácení (napiš si to!) ti vyjde, že padající těleso bude bez ohledu na hmotnost urychlováno zrychlením o číselné velikosti g.

(Nezamotal jsem to moc?)

↑ Contemplator:
Setrvačná hmotnost se to nazývá z toho důvodu, že je to vlastně kvantifikace toho, jak moc bude těleso ochotné setrvávat v rovnoměrném přímočarém pohybu.

Ty dvě hmotnosti jsou dvě skutečně jen teoreticky. Tím prvním přiblížením jsem myslel to, že z hlediska klasické fyziky není nutné, aby tyto dvě hmotnosti byly stejné. Pokud se někdy dopracuješ k teorii relativity, tak zjistíš, že by se vážně mělo jednat o jednu hmotnost, takže se to studentům obvykle ani neříká.

Vztah říká, že pokud by tyto hmotnosti nebyly stejné, těleso by ve vakuu nepadalo se zrychlením g.

Napsáním jsem myslel toto:


Prostě když uvažuješ jen jednu hmotnost, je zrychlení padajících těles vždy stejné, bez ohledu na hmotnost.