Matematické Fórum

Rozárka96 · 23. 09. 2016 15:20

Dobrý den,
prosím o pomoc s binární relací.
Mám příklad:
Množina $M = \{a,b,c,d,e,f\}$
je definovaná relací $R = \{[b,b][b,c][f,e]\}$
Máme doplnit postupně dvojice, aby vznikla relace ekvivalence. Tedy (R1 - reflexivní, R2 - symetrická a R3 tranzitní)
R1 a R2 již mám, ale nevím si rady s R3. Děkuji

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-09/36800_14429431_1311227145555100_1069964976_n.jpg

Rumburak

↑ Rozárka96:
Ahoj.

Místo

Množina $M = \{a,b,c,d,e,f\}$
je definovaná relací $R = \{[b,b] [b,c][f,e]\}$

jsi patrně chtěla napsat, že v množině $M = \{a,b,c,d,e,f\}$ je definována relace $R = \{[b,b], [b,c], [f,e]\}$ .

Tvá úvaha, jak úlohu řešit, má zdravé jádro, ale chtělo by ji upřesnit. Konkretně bych ji rozvedl takto:

1. K dané relaci $R$ nejprve přidáme (uspořádané) dvojice $[a,a], [c,c], [d,d], [e,e], [f,f]$ , tím vznikne reflexivní relace

$R_1 = \{[a,a], [b,b], [c,c], [d,d], [e,e], [f,f], [b,c], [f,e]\}$ .

2. Přidáním dvojic $[c, b], [e, f]$ vznikne reflexivní a zároveň symetrická relace

$R_2 = \{[a,a], [b,b], [c,c], [d,d], [e,e], [f,f], [b,c], [f,e], [c, b], [e, f]\}$ .

Připadá mi, že poslední relace je již i transitivní. Rozkladovými třídami množiny $M$ dle $R_2$ budou

$\{a\}, \{d\}, \{b, c\}, \{e, f\}$ .

Úlohu lze řešit i obráceným směrem: Nejprve vhodně určíme rozkladové třídy (tak, aby byly v souladu se zadáním)
a na jejich základě pak příslušnou ekvivalenci.

Poznámka: Řešení, které jsme nalezli, není jediné možné. Zkus najít nějaké další.

Rozárka96 · 26. 09. 2016 20:45

↑ Rumburak:
Dobře, R1 a R2 jsem pochopila.
Jen se chci ještě zeptat, definice tranzitní relace R je tranzitní $\Leftrightarrow \forall a,b,c\in M:[a,b]\in M\wedge [b,c]\in M\Rightarrow [a,c]\in M$

Jinak řečeno - pokud je "cesta" z A do B a z B do C, musí existovat i přímá "cesta" z A do C.

Napadlo mi tedy, že bych mohla do R3 přidat ještě [e,d], [d,e] a [f,d], neboť pak by se zde definice uplatnila. Nebo ne?

Rumburak · 27. 09. 2016 10:08

↑ Rozárka96:

K první otázce:

Ta podmínka transitivity relace $R$ měla být

$\forall a,b,c\in M:[a,b]\in R\wedge [b,c]\in R\Rightarrow [a,c]\in R$ ,

Ty tam máš $M$ místo $R$ . (Snad jde jen o nepozornost.)

Ke druhé otázce:

Chceš něco přidávat k $R_3$ , ale prozatím nevíme, co $R_3$ je. Ve svém úvodním příspěvku sice o $R_3$ píšeš,
ale blíže ji nespecifikuješ.

Já jsem zevedl $R_2 = \{[a,a], [b,b], [c,c], [d,d], [e,e], [f,f], [b,c], [f,e], [c, b], [e, f]\}$ .
Když k ní přídáme $[e,d], [d,e], [f,d]$ , dostaneme

$R_3 = \{[a,a], [b,b], [c,c], [d,d], [e,e], [f,f], [b,c], [f,e], [c, b], [e, f], [e,d], [d,e], [f,d] \}$ .

Tato relace není symetrická, protože obsahuje $[f,d]$ , ale nikoliv $[d,f]$ (předpokládám, že $f \ne d$ ).
Přidejme tam tedy ještě $[d,f]$ . Budeme mít

$R_4 = \{[a,a], [b,b], [c,c], [d,d], [e,e], [f,f], [b,c], [f,e], [c, b], [e, f], [e,d], [d,e], [f,d] , [d, f] \}$ .

Sice už pomalu ztrácím přehled, ale mám za to, že posledním krokem bylo transitivity dosaženo. Rozkladové třídy budou

$\{a\} , \{b, c\} , \{d, e, f\}$ .

Matematické Fórum

#1 23. 09. 2016 15:20

Binární relace

#2 26. 09. 2016 09:57 — Editoval Rumburak (26. 09. 2016 13:37)

Re: Binární relace

#3 26. 09. 2016 20:45

Re: Binární relace

#4 27. 09. 2016 10:08

Re: Binární relace

Zápatí