Matematické Fórum

slender · 26. 09. 2016 17:15

Zdravím,
počítám úlohu, ve které mám najít globální maximum funkce $f(x,y,z)=x^4yz$ na sféře $x^2+y^2+z^2=1$ .

Rozhodl jsem se úlohu řešit metodou lagrangeových multiplikátorů.

Sestavil jsem si lagrangián:

$\mathcal{L}=x^4yz+\lambda(x^2+y^2+z-1)$

Vypočítal jsem parciální derivace:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}= 4x^3yz+2\lambda x\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}= x^4z+2\lambda y\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}= x^4y + \lambda\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=x^2+y^2+z-1$

Pro $4x^3yz+2\lambda x = 0, x^4z+2\lambda y = 0, x^4y + \lambda = 0, x^2+y^2+z-1=0$ jsem si vyjádřil hodnoty $\lambda$ a dopočítal hodnoty $x,y,z$ :

$\lambda=-\frac{4x^3yz}{2x}\\ \lambda=-\frac{x^4z}{2y}\\ \lambda=-{x^4y}$

$y^2=x^2, y^2=\frac{z}{2}$

Dosadil jsem do parciální derivace podle lagrangeova multiplikátoru:

$x^2+y^2+z-1=0\\ \frac{z}{2}+\frac{z}{2}+z-1=0$

$z=\frac{1}{2}, y=\pm \frac{1}{2}, z=\pm \frac{1}{2}$

Porovnal jsem hodnoty bodů:

$f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{64}\\ f\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{64}\\ f\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{64}\\ f\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{64}$

Maximum je tedy v bodech $\left[\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ a $\left[-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ .

Wolfram ale tvrdí něco jiného. Nevíte prosím někdo, kde mám v postupu chybu?

misaH · 26. 09. 2016 17:35 — Editoval misaH (26. 09. 2016 17:41)

↑ slender:

:-)

Vyzerá to, že má byť $x^2=4y^2$

Jj · 26. 09. 2016 17:42

↑ slender:

Zdravím.

Tady $\mathcal{L}=x^4yz+\lambda(x^2+y^2+\color{red}z\color{black}-1)$ chybí mocnitel. A řekl bych, že chyba "jde" do dalších výpočtů.

misaH · 26. 09. 2016 17:51 — Editoval misaH (26. 09. 2016 17:57)

↑ Jj:

Aha.... ale aj tá druhá úprava bola chybná.

Zaujímavé, že potom akoby tie čísla vychádzali... :-)

Šestina, dve tretiny... náhoda.

z som nerátala :-) iba x a y. No a keď vyšli tie, malo by vyjsť aj z. No nie? (irónia)

Jj · 26. 09. 2016 18:12

↑ misaH:

Jasně že mělo.

misaH · 26. 09. 2016 18:33

↑ Jj:

:-)

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2016 17:15

Globální maximum pomocí lagrangeových multiplikátorů (hledám chybu)

#2 26. 09. 2016 17:35 — Editoval misaH (26. 09. 2016 17:41)

Re: Globální maximum pomocí lagrangeových multiplikátorů (hledám chybu)

#3 26. 09. 2016 17:42

Re: Globální maximum pomocí lagrangeových multiplikátorů (hledám chybu)

#4 26. 09. 2016 17:51 — Editoval misaH (26. 09. 2016 17:57)

Re: Globální maximum pomocí lagrangeových multiplikátorů (hledám chybu)

#5 26. 09. 2016 18:12

Re: Globální maximum pomocí lagrangeových multiplikátorů (hledám chybu)

#6 26. 09. 2016 18:33

Re: Globální maximum pomocí lagrangeových multiplikátorů (hledám chybu)

Zápatí