Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 01. 10. 2016 11:11
úlohy s ciframi
ahojte
dostala som na domácu úlohu takýto príklad a neviem si s ním poradiť
Nájdite všetky trojciferné čísla n, ktorých druhá mocnina končí rovnakým trojčíslím ako druhá mocnina 3n-2.
vopred ďakujem za pomoc :)
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) mata0128)
#2 01. 10. 2016 11:41 — Editoval Al1 (01. 10. 2016 11:43)
Re: úlohy s ciframi
↑ mata0128:
Zdravím,
umíš napsat druhou mocninu n a druhou mocninu výrazu 3n-2?
Offline
#3 01. 10. 2016 12:45
Re: úlohy s ciframi
↑ Al1:
dakujem velmi pkene za odpoved
toto som dostala po vyjadreni druhej mocniny:
(100x+10y+z)2=10 000x2+2000xy+20yz+100y2+z2
(100x+10y+z-1)2= 90 000x2+18000xy+1800xz+900y2-1200x+180yz-120y-12z+9z2+4
z toho som dostala aby sa posledna cifra rovnala rovnicu
0=8z2-12z+4
korene 1 a 0,5 takze beriem do uvahy len prvy koren
potom som porovnala 20y=180zy-120y
dostala som krasnu nerovnost,, ale aby sa desiatky rovnali, tak y=5
no a potom som skusala dosadzat na miesto stoviek nejake cislo tak, aby mi vysli posledne cifry rovnake,, a dostala som tak cisla 251 a 751
su to vsetky moznosti ??
Offline
#4 01. 10. 2016 13:45
Re: úlohy s ciframi
↑ mata0128:
Řešení jsou čísla 251 i 751, ovšem tvé úvahy jsou nepřesné, neboť 
a pak máš vyjádřit 
, ty ovšem píšeš
mata0128 napsal(a):
(100x+10y+z-1)2= 90 000x2+18000xy+1800xz+900y2-1200x+180yz-120y-12z+9z2+4
, což neplatí.
Je to jen nepřesnost v zápise? Neboť pravá strana tvé rovnosti odpovídá tvaru 
Já bych spíše volil úvahu, co znamená, že dvě čísla mají poslední trojčíslí stejné. Co to znamená pro jejich rozdíl? Podívej se na tvé řešení 251: 
, rozdíl je 501 000. Rozdíl se dá tedy napsat jako násobek tisíce.
Řešil bych: 
Existuje 6 řešení.
Offline
#5 01. 10. 2016 17:33
Re: úlohy s ciframi
↑ Al1:
mám v tom zapise som sa pomylila,,, ,, lebo
(100x+10y+z-1)2 malo byť (100x+10y+z-2)^2
no ,, a s tvojím postupom neviem pohnúť,,,
(dufam, ze mi das este napovedu :)
skôr som sa zamyslela nad mojimi úvahami ešte raz
vypísala som si čísla od 0 do 9 umocnené na 2 a porovnala som ich desiatky s desiatkami čísel, ktoré vyšli po dosadení do rovnice (3n-2)^2 pricom za n som dosadila tiez cisla od 0 po 9
vyslo mi, ze z moze byt 1,3,6,9
potom som z postupne dosadzala do nerovnosti 20yz+z2 = 180zy-120y-12z+9z2+4
vysledky som porovnala dosadila do dalsej nerovnosti atd. ,,, (celkom komplikovany proces) no a tak som dostala cisla
251, 751, 313, 813, 563
ale to sieste cislo mi stale chyba,,,
Offline
#6 01. 10. 2016 17:46
- misaH
- Příspěvky: 13467
Re: úlohy s ciframi
↑ mata0128:
K návodu od Al1 (zdravím :-) ):
Keď majú 2 čísla rovnaké posledné trojčíslie, tak ich rozdiel sa končí troma nulami a je to tým pádom násobok čísla tisíc.
Naľavo je rozdiel druhých mocnín čísel zo zadania a napravo je zapísaný (prirodzený) násobok čísla 1000.
Offline
#7 01. 10. 2016 17:54
Re: úlohy s ciframi
↑ misaH:
ahoj :)
tomu prirodzene chápem :), ale neviem, čo s tým ďalej, ,,,
skúsila som to roznásobiť, ale vôbec mi nenapadlo, ako by som s tým mohla ďalej pracovať
skúšala som tam dosadzovať čísla,, ale to je asi bezpredmetné, lebo by tam mali vyjsť trojciferné čisla
skúsila som tam dosadiť aj výsledky z predchádzajúcich rovníc,,, ale, ako vravím, nič mi nenapadlo
Offline
#8 01. 10. 2016 17:59
Re: úlohy s ciframi
↑ mata0128:
Chybí 501.
K mému postupu:, po úpravě (umocnění, vydělení čtyřmi a rozkladu na součin) dostanu
2n-1 je liché přirozené číslo, n-1 musí být sudé.
Hledáš n-1 jako násobek 250-ti, nebo 2n-1 jako lichý násobek 125-ti.
Offline