Matematické Fórum

Fanula311 · 14. 10. 2016 15:56

Dobrý den,

chtěl bych poradit a ujasnit si rozklad polynomu vyššího řádu na součin kořenových činitelů. Úkolem je nalézt kořeny polynomu $P_{2n}(x)=x^{2n}+1$ pro $2n=16, 32, 64$ a $128$ . Pro polynom takového stupně není žádná '' ruční '' metoda (alespoň to si myslím). Pro nalezení kořenů a jejich vykreslení do roviny $Z$ jsem použil MATLAB (školní licence). Vykreslil jsem následující grafy //forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/52261_Obrazek_1.png . Pro doplnění polynom $y1=x^{16}+1$ , $y2=x^{32}+1$ , $y3=x^{64}+1$ a $y4=x^{128}+1$ . Výsledkem jsou komplexní kořeny.

A teď bych se chtěl ujasnit, zdali to chápu správně: Kdyby to byly polynomy, které by byly ve jmenovateli přenosové funkce diskrétního systému např. $H(z)=\frac{1}{y1}$ , tak by se jednalo o systém na mezi stability a kořeny jsou vlastně póly přenosové funkce ? Chápu to správně ?

A rozklad na součin kořenových činitelů pro polynom $y1$ by byl ve tvaru:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/53223_Obrazek_2.png . Je to také správně ?

Předem děkuji za odpovědi.

Bati · 14. 10. 2016 19:36

Ahoj,
rovnice $x^{2n}+1=0$ se řeší na střední. Řešením jsou čísla $x=\cos(\tfrac{2k+1}{2n}\pi)+i\sin(\tfrac{2k+1}{2n}\pi)$ , $k=0,\ldots,2n-1$ a ne to, co jsi napsal (modře).

Fanula311 · 14. 10. 2016 20:46

↑ Bati:To co jsem napsal modře, by mělo být správně. Je to rozklad polynomu $0=x^{16}+1$ na součin kořenových činitelů v komplexním tvaru (vyčíslený cosinus a sinus).

Bati · 14. 10. 2016 21:04 — Editoval Bati (14. 10. 2016 21:04)

↑ Fanula311:
No, správně to být nemůže, protože kořeny nejsou komplexní čísla s racionálními koeficienty. Ale to tě pravděpodobně nezajímá. K druhé části tvé otázky:
Ano, těm bodům, které popisuješ, se někdy říká póly. Viz definice.

Fanula311

↑ Bati:Kořeny snad mohou být komplexní, pakliže uvažuji obor komplexních čísel. Kdybych uvažoval obor pouze reálných čísel, tak tam by řešení neexistovalo. Nebo je to špatně ?

Bati · 14. 10. 2016 21:20

↑ Fanula311:
Komplexní čísla to jsou, ale ne s racionálními koeficienty. Proč? Protože např. číslo $\cos\tfrac{\pi}{16}$ není racionální. V tom, co jsi modře napsal jsou samá racionální čísla. Ne všechno, co ti vypíše MATLAB (at už máš kopii pirátskou, nebo legální) je správně.

Fanula311 · 17. 10. 2016 08:14

No jo, už jsem si vzpomněl. Tyto rovnice jsem řešil na střední, vůbec jsem si je nemohl vybavit. Ale teď už jsem si vzpomněl.

Mockrát děkuji.

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2016 15:56

Rozklad polynomu vyššího řádu

#2 14. 10. 2016 19:36

Re: Rozklad polynomu vyššího řádu

#3 14. 10. 2016 20:46

Re: Rozklad polynomu vyššího řádu

#4 14. 10. 2016 21:04 — Editoval Bati (14. 10. 2016 21:04)

Re: Rozklad polynomu vyššího řádu

#5 14. 10. 2016 21:08 — Editoval Fanula311 (14. 10. 2016 21:09)

Re: Rozklad polynomu vyššího řádu

#6 14. 10. 2016 21:20

Re: Rozklad polynomu vyššího řádu

#7 17. 10. 2016 08:14

Re: Rozklad polynomu vyššího řádu

Zápatí