Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 18. 10. 2016 19:56
Odhad výrazu
Dokažte, že pro všechna přirozená n platí odhad
Poznámka. Vzhledem k tomu, že očekávám řešení co nejelementárnější, potěší mě, pokud se vyhnete indukci nebo Riemannovým integrálním součtům. Zdá se mi, že dobrý středoškolák by mohl mít radost z řešení, které má geometrickou interpretaci (pro zkušenější asi zcela zřejmou, těžko to tajit).
Viel Spaß...
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Marian)
#2 19. 10. 2016 23:20 — Editoval Pavel (21. 10. 2016 10:37)
Re: Odhad výrazu
![$
\frac 1{n+m}\left(\frac 2{2n+1-m}-\frac 1{m+n-1}\right)& <\frac 1{(2n+1-m)(2n-m)}\\[.5\baselineskip]
\frac {3m-3}{(n+m)(m+n-1)}& <\frac 1{2n-m}\\[.5\baselineskip]
(3m-3)(2n-m)& <(n+m)(m+n-1)\\
0& <n^2-4mn+4m^2+5n-4m\\
0& <\underbrace{(n-2m)^2}_{\geq 0}+5\underbrace{(n-m)}_{>0}+\underbrace{m}_{\geq 2}
$](/mathtex/e0/e06070418072a24c870e3e244ae9a76b.gif "kopírovat do textarea")
![$
\sum_{m=1}^{n}\frac{4}{m+n}
&=\sum_{m=1}^{n}\left(\frac{2}{m+n}+\frac{2}{m+n}\right)
=\sum_{m=1}^{n}\left(\frac{2}{m+n}+\frac{2}{2n+1-m}\right)
=(3n+1)\sum_{m=1}^{n}\frac{2}{(m+n)(2n+1-m)}\\[.5\baselineskip]
&=(3n+1)\left(\frac 2{n(n+1)}+\sum_{m=2}^{n-1}\frac{2}{(m+n)(2n+1-m)}\right)\\[.5\baselineskip]
&<(3n+1)\left(\frac 2{n(n+1)}+\sum_{m=2}^{n-1}\left(\frac 1{(m+n)(m+n-1)}+\frac 1{(2n+1-m)(2n-m)}\right)\right)\\[.5\baselineskip]
&=(3n+1)\left(\frac 2{n(n+1)}+\sum_{m=2}^{n-1}\frac 2{(m+n)(m+n-1)}\right)
=(3n+1)\sum_{m=1}^{n-1}\frac 2{(m+n)(m+n-1)}\\[.5\baselineskip]
&=(3n+1)\sum_{m=1}^{n-1}\left(\frac 2{m+n-1}-\frac 2{m+n}\right)
=(3n+1)\left(\frac 2n-\frac 2{2n-1}\right)
=\frac{2(3n+1)(n-1)}{n(2n-1)}<3,
$](/mathtex/0c/0cba25a56662a509d8f57f492bb4f630.gif "kopírovat do textarea")
. Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#3 22. 10. 2016 21:14 — Editoval Marian (24. 10. 2016 07:50)
Re: Odhad výrazu
↑ Pavel:
Velmi hezké...
Postup, na který bych asi středoškoláka naváděl, by nebyl nikterak novátorský. Celý důkaz popisovat nebudu (navíc není složitý). Dám však návod ve formě obrázku s několika poznámkami, které umožní zájemcům ze SŠ řešení snadno dokončit.
Nejdříve přepišme nerovnost ekvivalentně na tvar
Sumu lze v tomto případě geometricky interpretovat jako součet obsahů obdélníků o délce a výšce
Tedy délka je konstantní a výška proměnná, přitom parametr 
nabývá hodnot 
. To symbolizují obdélníky na obrázku.
Jak je patrné (a matematicky snadno korektně dokazatelné), součet obsahů všech uvažovaných obdélníků je větší než obsah obdélníku ABCE (pro 
dokonce roven), avšak menší než obsah lichoběžníku ABCD. Vypočteme-li obsahy těchto základních rovinných útvarů, získáme ihned hledaný odhad.
Dále je vhodné poznamenat, že u horního odhadu může být neostrá nerovnost změněna na ostrou.
Offline