Matematické Fórum

Sherlock · 30. 10. 2016 15:17

Zdravím, pro nenulová a,b mám zadanou kuželosečku: $(\frac{x_{1}}{a})^{2}-(\frac{x_{2}}{b})^{2}=1$ (ve standardním afinním prostoru dimenze 2). Chtěl bych odvodit rovnice pro její asymptoty.

Projektivní rozšíření kuželosečky vypadá teda takto: $-(abx_{0})^{2}+(bx_{1})^{2}-(ax_{2})^{2}=0$

Asymptoty jsou, pokud se nepletu, tečny v nevlastních bodech - tak jsem zkoušel vzít nevlastní body $(0,1,0),(0,0,1)$ a vést jimi tečny, ale nikam to nevedlo.

Poradí někdo, jak na to?

Eratosthenes · 30. 10. 2016 16:39

ahoj ↑ Sherlock:

ani jedna asymptota dané hyperboly neprochází bodem $(0,1,0)$ . A bod $(0,0,1)$ je vlastní :-)

Sherlock

Tos mi vlastně vůbec neporadil. Jinak, jsem přesvědčen, že body, co mají první souřadnici nulovou, jsou nevlastní. St. afinní prostor máme definovaný jako množinu $A_{2}=\{(1,x_{1},x_{2})|x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}\}$ - rovina neprocházející počátkem.

Proj. rozšíření jsme si zavedli jako $\overline{A_{2}}=A_{2}\cup P(Dir(A_{2}))$
Prvky $A_{2}$ jsou vlastní body, ty ostatní jsou nevlastní...

Eratosthenes

↑ Sherlock:

no, je zvykem psát 'projektivní' souřadnici jako poslední, a to i ve vašich učebnicích (viz např. zde). Ale to je celkem jedno. OK, oba jsou nevlastní, ale ani jeden neleží na asymptotě. Hyperbola má jen dva nevlastní body, takže si je nemůžeš volit libovolně...

Sherlock

↑ Eratosthenes:

Díky. Já vycházím z těchto skript.

Asymptota je teda přímka "procházející" středem kuželosečky a jejím nevlastním bodem.

Čili přímka určená středem a její směrový vektor je ten nevlastní bod.

Proč přesně to tak ale je?

(Jsem to předtím chápal nějak špatně, chápal jsem to tak že body (0,1,0),(0,0,1) (nevadí, že neleží na kuželosečce) povedu tečnu ke kuželosečce)

Eratosthenes · 03. 11. 2016 16:26

↑ Sherlock:

Nemáš za úkol vést tečnu z libovolného bodu. Máš za úkol najít tečnu v bodě, který na kuželosečce leží. To, že je nevlastní, je až druhá věc. Takže máš hyperbolu

$-(abx_{0})^{2}+(bx_{1})^{2}-(ax_{2})^{2}=0$

její střed je zřejmě (1;0;0) a jde o to, najít ty nevlastní body (0;r;s) tak, aby ležely na té kuželosečce...

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2016 15:17

Ling. algebra - odvození rovnice asymptoty kuželosečky

#2 30. 10. 2016 16:39

Re: Ling. algebra - odvození rovnice asymptoty kuželosečky

#3 30. 10. 2016 17:14 — Editoval Sherlock (30. 10. 2016 17:16)

Re: Ling. algebra - odvození rovnice asymptoty kuželosečky

#4 30. 10. 2016 17:52 — Editoval Eratosthenes (30. 10. 2016 17:57)

Re: Ling. algebra - odvození rovnice asymptoty kuželosečky

#5 03. 11. 2016 10:46 — Editoval Sherlock (03. 11. 2016 10:47)

Re: Ling. algebra - odvození rovnice asymptoty kuželosečky

#6 03. 11. 2016 16:26

Re: Ling. algebra - odvození rovnice asymptoty kuželosečky

Zápatí