Matematické Fórum

Tanner · 30. 10. 2016 16:47

Zdravím,

Mám tady jeden příklad, který mi úplně nesedí a nevím, v čem jsem udělal chybu.

Těleso o hmotnosti $m=280g$ na pružině o tuhosti $k=15,2N/m$ . V čase $t_{0}=0s$ se nachází $1,00cm$ pod rovnovážnou polohou a pohybuje se rychlostí $20,0cm/s$ směrem dolů. Kde se bude nacházet v čase $t=1,1s$ ?

Vycházel jsem z rovnic

$y=y_{m}sin(\omega t+\varphi )$
$v=\omega y_{m}sin(\omega t+\varphi )$

a s tím, že $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

Pokud to beru tak, že v $t_{0}=0s$ se $y=0,01m$ , pak
$y=y_{m}sin(\varphi )$
$v=\omega y_{m}sin(\varphi )$

Z první rovnice si vyjádřím $y_{m}$

Po vydělení obou rovnic dostanu vztah $tg \varphi =\sqrt{\frac{k}{m}}\frac{y}v{}$

Po dosazení mi výjde úhel $\varphi =0,368rad$ .
Díky tomu dosadím do rovnice, ze které jsem si vyjádřil y_{m}, a to mi vyjde $y_{m}=4,63*10^{-4}m$

A po dosazení do rovnice $y=y_{m}*sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi$ mi vyjde $0,01m$ , což je ale špatně, výsledek má být 2,38cm pod rovnovážnou polohou, kde jsem udělal chybu, prosím?

Jj · 30. 10. 2016 17:40

↑ Tanner:

Dobrý den.

Řekl bych, že rychlost $v = \dot{y}=y_{m}\omega \color{red}cos\color{black}(\omega t+\varphi )$

Tanner · 30. 10. 2016 17:43

↑ Jj:

Jen jsem to špatně napsal, moje chyba :) Ale normálně jsem počítal s cosinem..Chyba je někde jinde

Jj · 30. 10. 2016 18:41

Tanner napsal(a):
Po vydělení obou rovnic dostanu vztah $tg \varphi =\sqrt{\frac{k}{m}}\frac{y}v{}$

Po dosazení mi výjde úhel $\varphi =0,368rad$ .

$0.368 \neq \varphi, \quad 0.368 = tg \varphi$

Tanner · 30. 10. 2016 18:48

↑ Jj:

Jo, ten úhel vyjde nějakých 20 stupnu, tudíž 0,349rad..ale pokud počítam s těmahle hodnotama, tak se dostanu zase k 0,1cm..asi jsem to blbě zapsal do tématu.

Jj · 30. 10. 2016 19:01

↑ Tanner:

Myslím, že fí bude záporný úhel.

Tanner · 30. 10. 2016 19:13

↑ Jj:

Jo, má :) ale pořád to nevychází tak ani tak.

zdenek1 · 30. 10. 2016 20:02

↑ Tanner:
máš špatně amplitudu
$y=A\sin(\varphi_0)$
$v=A\omega\cos(\varphi_0)$
takže
$\left(\frac yA\right)^2+\left(\frac{v}{A\omega}\right)^2=1$
z čehož
$A=\sqrt{y^2+\frac{v^2m}{k}}=2,893\ \text{cm}$

pak
$y=2,893\sin \left(\sqrt{\frac{15,2}{0,28}}\cdot1,1+3,4945\right)\ \text{cm}$

Jj · 30. 10. 2016 20:09 — Editoval Jj (30. 10. 2016 20:11)

↑ Tanner:

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \doteq 7.37$

Zkusme:

$A\sin \varphi=-1$
$\omega A \cos \varphi = -20$

$\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=\frac{1}{A^2}\left(1+\frac{400}{\omega^2} \right)=\frac{8.37}{A^2}=1$

$\Rightarrow A = 2.89\, cm \Rightarrow \sin \varphi = -0.346\Rightarrow \varphi = 3.49$ (III. kvadrant)

--> $y=2.89 \sin(7.37 t + 3.49)$

Edit - pozdě, ale nechám (hodně psaní).