Matematické Fórum

Nadruhu · 11. 11. 2016 10:08

Ahojte, mam taku trochu narocnejsiu (pre mna) ulohu a neviem ako ju riesit.

Pre aritmetickú postupnosť $a_n$ s kladným členmi platí, že $a_9$ je o 70% väčšie ako $a_4$ . O koľko percent je $a_9$ menšie ako $a_13$ ? Aké číslo musíme dať miesto 70 aby riešením predchádzajúcej úlohy bolo 70?

Rumburak

↑ Nadruhu:

Ahoj.

Především je potřeba uvedené podmínky přeložit ze slovenštiny do řeči rovnic.
Například výrok " $a_9$ je o 70% väčšie ako $a_4$ " znamená $a_9 - a_4 = \frac{70}{100}\cdot a_4$ .

V dalším je potřeba využít, že jde ne o ledajakou posloupnost, ale o posloupnost aritmetickou.

Nadruhu · 11. 11. 2016 11:02

to ze je aritmeticka znamena ze cleny budu rozdielne o rovnaku diferenciu. Ako nam to pomoze?

Rumburak

↑ Nadruhu:
Pomůže nám to například v tom, že členové $a_9$ , $a_4$ budou svázáni ještě další rovnicí, než je ta,
kterou jsem uvedl. Obě tyto rovnice pak bude možno vyjádřit pouze pomocí neznámých $a_1, d$
(kde $d$ je diference), takže budeme mít soustavu dvou rovnic o těchto dvou neznámých.

Nadruhu · 11. 11. 2016 15:26

myslim ze ta rovnica bude
$a_9=a_4(9-4)d$ ?? tak?

Rumburak · 11. 11. 2016 15:34

↑ Nadruhu:
Ne tak úplně . Lépe takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nadruhu

aha to som sa pomylil, takze mame rovnice

$a_9 - a_4 = \frac{70}{100}\cdot a_4$
$a_9=a_4 + 5d$

ale to je sustava dvoch rovnic s troma neznamimi.

Al1 · 11. 11. 2016 16:18 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 16:29)

↑ Nadruhu:

Zdravím,

a jaká je otázka? Potřebuješ vyjádřit vhodný poměr mezi $a_{9}$ a $a_{13}$ Dej na radu ↑ Rumburak: z příspěvku #4 a vyjádři členy pomocí $a_{1}$ a $d$

Nadruhu · 11. 11. 2016 16:24

rozmyslam ale neviem ako

Al1 · 11. 11. 2016 16:35

↑ Nadruhu:

Jak spočítáš o kolik % je např. 30 větší než 24?
Stejný algorimus použij při zápisu: O koľko percent je $a_9$ menšie ako $a_{13}$ .
A pak si vše vyjádři pomocí prvního členu a diference.

Nadruhu

no ak zaklad (100%) je cislo 24, tak potom vypocitam jedno percento, to je 0,24 a teraz $30/0,24 = 125$ % teda 30 je vacsie o $25$ % ale ako s tymi clenmi ked predsa nepoznam presnu hodnotu ani $a_9$ ani $a_13$

Al1 · 11. 11. 2016 16:47

↑ Nadruhu:

Ach, výpočet přes jedno procento. No nic proti tomu.

Lepší je $\frac{30-24}{24}=\frac{1}{4}$

Tedy: chceme vyjádřit

$\frac{a_{13}-a_{9}}{a_{9}}$
Máme:
$a_{13}=a_{1}+12d\nl a_{9}=a_{1}+8d\nl a_{9}=1,7a_{4}$ ,

z posledního pak ještě $a_{1}+8d=1,7(a_{1}+3d)$ .

Nadruhu · 11. 11. 2016 16:53

ako vieme ze $a_9=1,7 a_4$ ?

Al1 · 11. 11. 2016 16:59

↑ Nadruhu:

devátý čeln je o 70% větší než čtvrtý, jeho hodnota je tedy 170% hodnoty čtvrtého členu. Vždyť tu rovnost máš

$a_9 - a_4 = \frac{70}{100}\cdot a_4\nl a_9 =0,7a_4+a_4$

Nadruhu

Takze mame 4 rovnice a 4 nezname:
$a_{13}=a_{1}+12d \nl a_{9}=a_{1}+8d \nl a_{9}=1,7a_{4}$ ,

$a_{1}+8d=1,7(a_{1}+3d)$

Al1 · 11. 11. 2016 17:06

↑ Nadruhu:

Třetí a čtvrtá vyjadřují totéž.

A teď to uplatni ve výrazu

$\frac{a_{13}-a_{9}}{a_{9}}$

Nadruhu · 11. 11. 2016 17:08

dostal som $\frac{4d}{a_1+8d}$

Al1 · 11. 11. 2016 17:09 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 17:10)

↑ Nadruhu:

To je dobře. A teď si vyjádři $a_{1}$ z rovnice $a_{1}+8d=1,7(a_{1}+3d)$ a dosaď do upraveného vztahu $\frac{4d}{a_1+8d}$

Nadruhu · 11. 11. 2016 19:10

dostavam
$a_1+8d=1,7(a_1+3d)$
$a_1+8d=1,7a_1+5,1d$
$-0,7a_1=-2,9d$
$a_1=\frac{2,9d}{0,7}$
$a_1=\frac{29}{7}$
dosadim a dostavam
$\frac{4d}{a_1+8d}=\frac{4d}{\frac{29d}{7}+8d}=\frac{4d}{\frac{85}{7}}=\frac{28d}{85}$

Al1 · 11. 11. 2016 19:14

↑ Nadruhu:

Pozor, diference se pokrátí!
$\frac{4d}{a_1+8d}=\frac{4d}{\frac{29d}{7}+8d}=\frac{4d}{\frac{85}{7}d}=\frac{28d}{85d}=\frac{28}{85}$

A pokud si výsledek vynásobíš stem, máš procenta (případně vyjádři desetinným číslem se zaokrouhlením)

Výsledek si můžeš ověřit volbou konkrétní hodnoty 4.členu, ze které vyjádříš hodnotu 9. a 13.členu a propočítáš procenta.

Nadruhu · 11. 11. 2016 19:19

takze sme dostali $\frac{28}{85}$
a to je vysledok?

Al1 · 11. 11. 2016 19:21 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 19:29)

↑ Nadruhu:

Al1 napsal(a):
A pokud si výsledek vynásobíš stem, máš procenta (případně vyjádři desetinným číslem se zaokrouhlením)

výsledkem budou ta %

Nadruhu · 11. 11. 2016 19:30

no ale este musim vyriesit druhu cast ulohy - Aké číslo musíme dať miesto 70 aby riešením predchádzajúcej úlohy bolo 70?

Al1 · 12. 11. 2016 09:49 — Editoval Al1 (12. 11. 2016 09:49)

↑ Nadruhu:

to musíš řešit
Pre aritmetickú postupnosť $a_n$ s kladným členmi platí, že $a_9$ je o 70% menšie ako $a_{13}$ ? O koľko percent je $a_9$ je väčšie ako $a_4$ .?

Uplatni podobné vztahy jako v první úloze.

$a_{13}=1,7a_{9}$ atd.

Nadruhu · 12. 11. 2016 10:30

celkom nerozumiem o co v tej druhej casti vlasne ide.

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2016 10:08

postupnosti 2

#2 11. 11. 2016 10:59 — Editoval Rumburak (11. 11. 2016 11:15)

Re: postupnosti 2

#3 11. 11. 2016 11:02

Re: postupnosti 2

#4 11. 11. 2016 11:11 — Editoval Rumburak (11. 11. 2016 11:17)

Re: postupnosti 2

#5 11. 11. 2016 15:26

Re: postupnosti 2

#6 11. 11. 2016 15:34

Re: postupnosti 2

#7 11. 11. 2016 15:46 — Editoval Nadruhu (11. 11. 2016 15:47)

Re: postupnosti 2

#8 11. 11. 2016 16:18 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 16:29)

Re: postupnosti 2

#9 11. 11. 2016 16:24

Re: postupnosti 2

#10 11. 11. 2016 16:35

Re: postupnosti 2

#11 11. 11. 2016 16:38 — Editoval Nadruhu (11. 11. 2016 16:38)

Re: postupnosti 2

#12 11. 11. 2016 16:47

Re: postupnosti 2

#13 11. 11. 2016 16:53

Re: postupnosti 2

#14 11. 11. 2016 16:59

Re: postupnosti 2

#15 11. 11. 2016 17:05 — Editoval Nadruhu (11. 11. 2016 17:05)

Re: postupnosti 2

#16 11. 11. 2016 17:06

Re: postupnosti 2

#17 11. 11. 2016 17:08

Re: postupnosti 2

#18 11. 11. 2016 17:09 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 17:10)

Re: postupnosti 2

#19 11. 11. 2016 19:10

Re: postupnosti 2

#20 11. 11. 2016 19:14

Re: postupnosti 2

#21 11. 11. 2016 19:19

Re: postupnosti 2

#22 11. 11. 2016 19:21 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 19:29)

Re: postupnosti 2

Al1 napsal(a):

#23 11. 11. 2016 19:30

Re: postupnosti 2

#24 12. 11. 2016 09:49 — Editoval Al1 (12. 11. 2016 09:49)

Re: postupnosti 2

#25 12. 11. 2016 10:30

Re: postupnosti 2

Zápatí