Matematické Fórum

Nadruhu · 12. 11. 2016 17:20

Ahojte mam takuto ulohu
Ukážte, že postupnosť daná vzťahom $a_{n+1}=\frac{2a_n+5}{a_n+3}$ je monotónna.
Skusal som rozdiel aj podiel clenov $a_{n+1}$ , $a_n$ aj rozdiel aj podiel clenov $a_{n+2}$ , $a_{n+2}$
ale nejako mi to nevychadza, pomozete mi?

vanok · 12. 11. 2016 17:24 — Editoval vanok (12. 11. 2016 17:34)

Ahoj,
Mozes plodne vyuzit, ze $a_{n+1}=\frac{2a_n+5}{a_n+3}=2-\frac 1{a_n+3}$

Poznamka.
Aby si mohol vysetrit monotoniu tejto postupnosti, je nutne dat prvy clen tejto postupnosti.

Nadruhu · 12. 11. 2016 17:26

ako mi to pomoze? nejako nevidim suvislost.

vanok · 12. 11. 2016 17:42

Mozes ukazat ( ak mas dany prvy clen) napr.
Ak $a_{n+1}-a_n>0$ tak aj $a_{n+2}-a_{n+1}>0$ ....

Tu mozes aj vyuzit ze ide o homograficku postupnost, ktore je vlasnosti najdes napr. vdaka google.
( alebo zo skoly)

Nadruhu

dany prvy clen nemam ale malo by sa to dat ukazat aj bez prveho clena no nie? dal som do googlu homogenna postupnost a nic vhodne mi nenaslo ..

Nadruhu

fajn skusim to tak ako radite vanok
hmm takze $a_{n+1}=2-\frac{1}{a_n+3}$ vyjadrim cleny $a_n$ , $a_{n+1}$ a $a_{n+2}$
$a_n=n$ (pricom $n$ je kladne)
$a_{n+1}=\frac{2n+5}{n+3}$
$a_{n+2}=\frac{9n+25}{5n+14}$

teraz vyjadrim rozdiely:

$a_{n+1} - a_n=\frac{-n^2-n+5}{n+3}$
$a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{-n^2-n+2}{5n^2+29n+42}$

prvy vyraz $\frac{-n^2-n+5}{n+3}$ je zaporny pre $n\ge 2$
druhy vyraz $\frac{-n^2-n+2}{5n^2+29n+42}$ je zaporny pre $n\ge 2$
Teda ak $n\ge 2$ tak $a_{n+1} - a_n$ je zaporny a aj rozdiel $a_{n+2}-a_{n+1}$ je zaporny.
Druhy zlomok bude vzdy mensi, pretoze citatel delime kvadratickym polynomom $5n^2+29n+42$ ktory rastie "rychlejsie" ako $n+3$ a teda bude platit:
$\frac{-n^2-n+5}{n+3}< \frac{-n^2-n+2}{5n^2+29n+42}$

v pripade ze $n=1$ nastane situacia:
$a_{n+1}-a_n>0$
$a_{n+2}-a_{n+1}>0$
tomuto vyhovuje len jedina situacia a sice ak $n=1$ , dostavame rastucu postupnost
$a_1=1$
$a_2=\frac{7}{4}$
$a_3=\frac{34}{19}$
$a_4=\frac{163}{91}$
atd.

Nie som si isty, azda je toto dokaz monotonnosti.

vanok · 13. 11. 2016 05:59

Ahoj
To si hladal nieco ine ako som pisal, hladaj homograficke postupnosti.
Normalne take postupnosti sa daju studovat aj dobrymi ziakmi strednej skoly.
Po fr., eng. najdes iste zaujimave materialy.

Tvoj predosly prispevok neviem k comu vedie?
Skus pouzit klasicke, zname vlasnosti homografickych postupnosti.

jarrro · 13. 11. 2016 07:38 — Editoval jarrro (04. 05. 2018 12:52)

↑ Nadruhu:prečo by sa malo $a_n=n$ ? To nie je pravda postupnosť daná predpisom $a_n=n$ nesplňuje tú diferenčnú rovnicu. Postupným dosadením ale vidno, že
$a_{n+1}-a_{n}=2-\frac 1{a_n+3}-a_n=2-\frac{1}{a_n+3}-2+\frac{1}{a_{n-1}+3}=\nl=\frac{1}{a_{n-1}+3}-\frac{1}{a_n+3}$
Teda po sebe nasledujúce rozdiely susedných členov majú rovnaké znamienko

vanok · 13. 11. 2016 10:28 — Editoval vanok (13. 11. 2016 10:38)

Ano na zaciatok vysetrenia toho rozdielu som cakal presne co si napisal.
Co da aj $....=(a_n-a_{n-1})[\frac 1{(a_{n-1}+3)(a_n+3)}]$

( zaujimave moze byt vysetrit aj pevne body postupnosti....)

Nadruhu

ja neviem, akosi mi to nepali ako pokracovat .. tie homograficke postupnosti ktore mi doporucujete vanok som nenasiel.

vanok · 13. 11. 2016 22:38 — Editoval vanok (14. 11. 2016 07:45)

Na rychlo som nasiel napr. tu http://michel.stainer.pagesperso-orange … tesNum.pdf posledny paragraf.( mozme lutovat ze po sk sa nic nenajde... to je ozaj cudne)
Na viac sa vidi, ze graf takejto postupnosti je na hyperbole.
Cize to ti moze tiez pomoct.
Dalsia pomoc, je ze ak ↑ vanok: posledny clen v zatvorke [...] je kladny tak rozdiely ako tu ↑ vanok:su ronakeho znamienka....

No ale hovorit presnejsie je nemozne, ked prvy clen nie je dany( tak ti staci ukazat nejake relacie aby si ukazal, ze si nieco hladal a povedat ze zadanie nie je uplne dane ako treba)

Edit. Pozri obrazky v tomto http://www.univ-montp3.fr/miap/ens/site … suites.pdf texte. Pozoruj dolezitost priamky y=x... ktora umoznuje jednoducho znazornovat celu postupnost na osy x.
( je to velmi nazorne a pouziva sa to uz na SS)
Nakresli si to pre tvoju hyperbolu a pohraj sa s tym.... aby si mal vsetki moznosti. ( a to ti aj potvrdi medzi inym limitu postupnosti)

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2016 17:20

monotonnost postupnosti

#2 12. 11. 2016 17:24 — Editoval vanok (12. 11. 2016 17:34)

Re: monotonnost postupnosti

#3 12. 11. 2016 17:26

Re: monotonnost postupnosti

#4 12. 11. 2016 17:42

Re: monotonnost postupnosti

#5 12. 11. 2016 19:57 — Editoval Nadruhu (12. 11. 2016 20:09)

Re: monotonnost postupnosti

#6 12. 11. 2016 20:36 — Editoval Nadruhu (12. 11. 2016 20:48)

Re: monotonnost postupnosti

#7 13. 11. 2016 05:59

Re: monotonnost postupnosti

#8 13. 11. 2016 07:38 — Editoval jarrro (04. 05. 2018 12:52)

Re: monotonnost postupnosti

#9 13. 11. 2016 10:28 — Editoval vanok (13. 11. 2016 10:38)

Re: monotonnost postupnosti

#10 13. 11. 2016 22:11 — Editoval Nadruhu (13. 11. 2016 22:11)

Re: monotonnost postupnosti

#11 13. 11. 2016 22:38 — Editoval vanok (14. 11. 2016 07:45)

Re: monotonnost postupnosti

Zápatí