Matematické Fórum

anonymous · 17. 11. 2016 18:53

zdravim, jak byste prosim resili tuto rovnici? bylo mi receno, ze to mam zkusit pres eukliduv algoritmus (nejvetsi spolecny delitel), ale stale netusim, co s tim. dekuji.

$17+25x=z$
$8+17y=z$
neboli
$17+25x=8+17y$

ttt_ · 17. 11. 2016 19:26

Hladame len celociselne riesenia?
V pripade celociselnych rieseni, podla mna staci riesit linearnu diofanticku rovnciu:
$17y-25x=9$
Kde vlastne mozes vyuzit aj Euklidov algoritmus.

anonymous · 17. 11. 2016 19:31

↑ ttt_:
Ano pres diofanticke rovnice by to melo jit, protoze to opravdu maji byt jen celociselne vysledky, ale ja je moc nepochopila.. Sel by prosim napsat nejaky postup? :)

ttt_ · 17. 11. 2016 20:54

↑ anonymous:
Vseobecny tvar lin. dif. rovnice: $ax+by=c$
A plati: dif. rov. je riesitelna, ked $d|c$ , kde $d=(a,b)$ .
V nasom pripade $a=-25$ , $b=17$ a $c=9$ .

Euklidovim algoritmom najdeme najvacsi spolocny delitel cisel 17 a -25.
(1) $-25=-2.17+9$
(2) $17=1.9+8$
(3) $9=1.8+1$
Takze: $d=1$
Teda $1|9$ , z toho vypliva ze mozme ist riesit rovnicu.
Existuje viac postupov na riesenie tychto rovnic, teraz vyuzijeme uz napisany Euklidov alogritmus. Ideme na to opacne, zo zadu, z (3) vyajdrime najvacsi spolocny delitel:
(4) $1=9-1.8$
Teraz z (2) vyjadrime $8=17-1.9$ , a dosadime do (4):
(5) $1=9-1.(17-1.9)=2.9-1.17$
Teraz z (3) vyjadrime $9=-25+2.17$ , a dosadime do (5):
(6) $1=2.(-25+2.17)-1.17=25.(-2)+17.3$
Teraz (6) vynasobime tak, aby sme dostali tvar povodnej rovnice:
$9=25.(-2.9)+17.3.9=(-18).25+27.17$
Je zrejme, ze sme dostali jedno konkretne riesenie, $x_0=-18$ a $y_0=27$ .
Dalsie risenia mozme najst takto:
$x=x_0+\frac{b}{d}t$ ,
$y=y_0-\frac{a}{d}t$ ,
kde $t\in\mathbb{Z}$ .
To aj znamena, ze existuje nekonecno vela rieseni.