Matematické Fórum

Slazer · 20. 11. 2016 10:25

Spontánne mi (v češtine) napadla táto úloha.

Je dán jazyk L = {·} s rovností, kde · je binární funkční symbol. Uvažme jeho realizaci D, kde nosičem je množina $D_{6}$ všech symetrií pravidelného šestiúhelníka a · se realizuje jako skládání. (Připomeňme, že $D_{6}$ sestává z identity, pěti rotací a šesti osových symetrií.)

Neprišiel som však na to, čo znamená "· se realizuje jako skládání". Binárny funkčný symbol . je typu $D_{6}~X~D_{6} \rightarrow D_{6}$ , ale čo presne robí? Vezme dva (vo všeobecnosti aj identické) automorfizmy šesťuholníka a aký šesťuholník vráti?

Ak by mi (spontánne) napadlo pokračovanie úlohy "Zadejte formuli $\varphi (x)$ jazyka L takovou...", znamená to, že každá premenná okrem $x$ musí byť viazaná a $x$ môže byť aj voľná aj viazaná?

Ďakujem za pomoc (so zadaním).

Andrejka3 · 20. 11. 2016 11:28

↑ Slazer:
Ta tečka je obyčejné skládání fcí. Výsledkem je zase automorfismus, ne šestiúhelník.

S tím, jestli x musí mít volný výskyt, to nevím. To je asi třeba podívat se do definice.

Slazer · 20. 11. 2016 12:16

↑ Andrejka3:
Pozrel som si skladanie funkcií, ale stále tomu nerozumiem. Aké funkcie tam skladáme? Môžem poprosiť o konkrétny príklad na $D_{6}$ ?

Sherlock

↑ Slazer:

Prvky $D_{6}$ chápeme jako permutace (což jsou bijektivní funkce), proto když např. dáš dohromady 2 rotace a 1 symetrii tak se tomu říká skládání (skládáš ty příslušné permutace). Ale to je celkem jedno. Důležitý je tak nějak intuitivně vědět, jak ty prvky vypadají a jak se chovají.

Tady je např. $D_{4}$ . Obsahuje 1 identitu, 3 rotace a 4 symetrie.

čtverec v původní poloze si označme $E$
čtverec "rotate 90 degrees" reprezentuje otočení o 90 stupňů. pokud si toto otočení označíme třeba jako $y$ , bude platit že $E \cdot y\cdot y\cdot y\cdot y=E$ (pokud čtyřikrát otočíš čtverec o 90, dostaneš ho ve stejné poloze)

toto samozřejmě neplatí jen pro $E$ , pokud libovolný čtverec z těchto osmi 4x otočíš o 90 stupňů, dostaneš ten, který jsi měl na začátku :)

Andrejka3 · 20. 11. 2016 13:21

↑ Slazer:
Když si označím vrcholy 6-úhelníku jako 1,2,3,4,5,6, pak zrcadlení (či osová souměrnost) podle uhlopříčky 1,4 je fce
$\{1,2,3,4,5,6\}\to\{1,2,3,4,5,6\}$ , označme ji $f$ , která funguje takhle:
$1\mapsto 1$ , $2\mapsto 6$ , $3\mapsto 5$ , atd.

Pak f složena sama se sebou je zase fce $\{1,2,3,4,5,6\}\to\{1,2,3,4,5,6\}$ . Obraz dvojky fce $f\cdot f$ je pak $f(f(2))=f(6)=2$ .

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2016 10:25

Diskrétna matika - skladanie symetrií šesťuholníka

#2 20. 11. 2016 11:28

Re: Diskrétna matika - skladanie symetrií šesťuholníka

#3 20. 11. 2016 12:16

Re: Diskrétna matika - skladanie symetrií šesťuholníka

#4 20. 11. 2016 12:30 — Editoval Sherlock (20. 11. 2016 12:41)

Re: Diskrétna matika - skladanie symetrií šesťuholníka

#5 20. 11. 2016 13:21

Re: Diskrétna matika - skladanie symetrií šesťuholníka

Zápatí