Matematické Fórum

142957 · 29. 11. 2016 19:31

Dobrý den, mám za úkol ukázat, že platí následující ekvivalence. Vůbec ale nevím, co se po mně vlastně chce, a jak se do toho mám pustit. Jak by se mohla úloha nejlépe vyřešit? Děkuji.

$( \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \text{ konverguje pak i }\sum_{n=1}^{\infty}f(a_{n})\text{ konverguje}) \Leftrightarrow f'(0)\in R$

Andrejka3 · 29. 11. 2016 22:34

↑ 142957:
Dobrý den.
Nejsou tam ještě nějaké dodatečné předpoklady?

142957 · 29. 11. 2016 22:49

↑ Andrejka3: Nejsou. V zadání je akorát napsáno, že mám ukázat, že ekvivalence platí.

jarrro · 29. 11. 2016 22:57 — Editoval jarrro (29. 11. 2016 22:58)

To neplatí lebo napr. $\sum_{n=1}^{\infty}{$-1$^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}}$ konverguje ale
$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$ diverguje

Andrejka3

↑ 142957:
Zkusme začít implikací zprava doleva.
Můžeme předpokládat, že
(1) $f'(0)=d$ pro jisté pevné $d\in\mathbb{R}$ ,
(2) platí předpoklad implikace vlevo, tj. $\sum a_n$ konverguje.

(1) můžeme rozepsat jako limitu. Z (2) a nutné podmínky konvergence plyne další limita...
Tuším, že to jde k cíli.

edit: to by jen vedlo k důkazu, že f (a_n) konverguje, ale o sume to nic nerekne.. viz jarrro.

142957 · 29. 11. 2016 23:05

↑ byk7: Chápu to tedy správně, že ekvivalence neplatí?

jarrro · 29. 11. 2016 23:09

↑ byk7:to nie je protipríklad . tretia odmocnina nezachováva konvergenciu viz
$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^3}}$ vs. $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$

jarrro · 29. 11. 2016 23:11

↑ 142957:neplatí lebo napr. $y=x^2$ má deriváciu v nule ale nezachováva konvergenciu.

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2016 19:31

Dokázání ekvivalence s derivací

#2 29. 11. 2016 22:34

Re: Dokázání ekvivalence s derivací

#3 29. 11. 2016 22:49

Re: Dokázání ekvivalence s derivací

#4 29. 11. 2016 22:57 — Editoval jarrro (29. 11. 2016 22:58)

Re: Dokázání ekvivalence s derivací

#5 29. 11. 2016 22:59 — Editoval Andrejka3 (29. 11. 2016 23:01)

Re: Dokázání ekvivalence s derivací

#6 29. 11. 2016 23:01 Příspěvek uživatele byk7 byl skryt uživatelem byk7. Důvod: Chyba

#7 29. 11. 2016 23:05

Re: Dokázání ekvivalence s derivací

#8 29. 11. 2016 23:09

Re: Dokázání ekvivalence s derivací

#9 29. 11. 2016 23:11

Re: Dokázání ekvivalence s derivací

Zápatí