Matematické Fórum

Avokado

Pomocí vhodné transformace integrálu urcete objem telesa:

M = {[x, y, z] ∈ R^3: x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2z, z ≤ 2 − x^2 − y^2}

skusil som ro najprv posunut do pociatku skrz transformaciu:
x=u
y=v
z=w+1
jakobian J=1

z coho mi vznikli podmienky:

1.) u^2 + v^2 +w^2 ≤ 1
2.) u^2 + v^2 + w ≤1

no a potom som to ttransformoval do sferickych suradnic, kde
$u = rsin(\vartheta)cos(\varphi )$
$v = rsin(\vartheta)sin(\varphi )$
$w = rcos(\vartheta )$
pre vhodne: $\varphi \in (0,2\pi ) , \vartheta \in (0,\pi ), r>0$
jakobian J = r^2*sin(theta)

z ktorych som dostal ze $\varphi \in (0,2\pi )$ ale zvysne medze niesom schopny z toho dostat :{

z toho co som zapisal im intuitivne vychaza ze $0<r<1, 0<\varphi<2\pi , 0<\vartheta <\pi$ z coho sa to uz lahko dopocitat vysledok

Jj · 03. 12. 2016 23:43

↑ Avokado:

Řekl bych, že ve sférických souřadnicích bude velmi problematické určit meze pro r. Příklad spíše vypadá na transformaci do cylindrických souřadnic.

Avokado · 04. 12. 2016 01:15

↑ Jj:

skusal si to ? skusal som to a nevychazdalo mi to(mozno som sa zmylil, ale skusal som to 2-3x)

urobil som si 3 obrazky s tym ze som si preniesol vzdy len 2 suradnice a dostal som sa k tomu, ze x^2 + y^2 < 0 a zaroven z druhej podmmienky ze x^2 + y^2 < 2.. co vo mne evokuje ze ci by to trebars nemohlo byt zle zadane..keby v druhej podmienke pri M bola otocena nerovnost tak podla obrazkov co som si nakreslil by to malo ist..neviem no

Jj · 04. 12. 2016 09:03 — Editoval Jj (04. 12. 2016 09:05)

↑ Avokado:

Nezkoušel. Řez zadaného rotačního tělesa rovinou yz vidím takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Avokado

dobre, takze som si to previedol transformaciou posunutim do pociatku sur.sustavy.

nasledne transformaciou valcovych suradnic:
$u= r*cos(\varphi )$
$v= r*sin(\varphi )$
$w=w$
jakobian = r

z coho som dostal nerovnosti:
$r^2 + w^2 \le 1$
$w \le 1-r^2$

z toho:

$\int_{0}^{2\pi }(\int_{0}^{1}(\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{1-r^2}(r)dw)dr)d\varphi = L$

??
$L = \frac{7\pi }{6}$