Matematické Fórum

James69 · 05. 12. 2016 20:51

Dobrý večer,

chtěl bych se zeptat, zda-li někdo neví, jak poznám, jestli se jedná o GP nebo AP.

Zadání.
Zjistěte, zda li je posloupnost aritmetická nebo geometrická a své tvrzení zdůvodněte, ...

Nemám tu konkrétní příklad, ale potřeboval bych vysvětlit tento typ úlohy.

Děkuji vám za vaši ochotu. :)

Al1 · 05. 12. 2016 21:01

↑ James69:

Zdravím,

posloupnost 1,3,5,7,9, ... je arimetická, protože rozdíl dvou sousedních členů je stále stejný a zde roven 2. Tomuto rozdílu se říká diference, d=2.
Můžeš také vidět, že každý následující člen je o dvě větší než předchozí.

Posloupnost 5, 15, 45, 135, ... je geometrická, protože podíl dvou sousedních členů je stále stejný a zde roven 3. Tomuto podílu říkáme kvocient, q=3.
Můžeš také vidět, že každý následující člen je třikrát větší než předchozí.

James69 · 05. 12. 2016 21:03

A kdybych měl třeba příklad ...

a1=2, an+1=an+2, n je v přirozených číslech? Tak jak se to tady řeší? :) A výsledek je, že je AP.

Al1 · 05. 12. 2016 21:06

↑ James69:

je ta posloupnost zadána takto: $a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n+2}$ ?
Nebo $a_{1}=2, a_{n}+1=a_{n}+2$

James69 · 05. 12. 2016 21:09

↑ Al1: Ta první je správně. :)

Al1 · 05. 12. 2016 21:19

↑ James69:

Posloupnost je zadána rekurentně. Z $a_{n+2}=a_{n+1}$ plyne, že každý následující člen je stejný jako předchozí,.

Zadání se mi ale zdá podivné. Když n je přirozené číslo, a to jsou obvykle čísla 1, 2, 3, ..., pak pro n=1 máme $a_{1+2}=a_{1+1}$ , pro n=2 máme $a_{2+2}=a_{2+1}$ atd. Ale takto vzniklé členy se vůbec nevztahují ke členu prvnímu. Takže ta posloupnost by mohla být 2, 3, 3, 3, ... nebo 2, 5, 5, 5, ... apod. Pak by ale nebyla ani AP ani GP.

Pokud bychom uvažovali, že 0 patří do přirozených čísel, máme

$a_{1}=2$
$n=0: a_{1+0}=a_{2+0}$ tedy $a_{2}=2$ , atd. Posloupnost by byla 2, 2, 2, .... A taková je AP s d=0, ale i GP s q=1