Matematické Fórum

petrnovak123 · 07. 12. 2016 22:45

Zdravím, mám za úkol najít bázi tohoto prostoru $x_1+x_3 = x_2+2x_4 = x_5$ v $\mathbb R^5$

Trošku v tom plavu, tak bych potřeboval zkontrolovat, jestli to mám dobře, popř. co dělám špatně.

Získám soustavu dvou rovnic, dimenze výsledného prostoru bude tedy 3

$x_1+x_3=x_5$
$x_1+x_3=x_2+2x_4$

Vyjádřím si $x_4$ a $x_5$

Takže

$x_5=x_1+x_3$
$x_4=\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2+\frac{1}{2}x_3$

No a teď si nejsem jistý, jak dál pokračovat. Asi bych nějak zkusil využít kanonickou bázi.
$(1,0,0,x_4,x_5)$
$(0,1,0,x_4,x_5)$
$(0,0,1,x_4,x_5)$

Po dosazení parametrů mi vyšlo
$(1,0,0,\frac{1}{2},1)$
$(0,1,0,-\frac{1}{2},0)$
$(0,0,1,\frac{1}{2},1)$

Tohle mi bohužel Wolfram nezkontroluje a tak vůbec nevím, jestli to mám správně, či nikoliv. Díky za rady

petrnovak123 · 08. 12. 2016 14:00

Nikdo?

vanok · 08. 12. 2016 17:36

Ahoj,
Mas nejake dobre myslienky,
Povedal by som, ze prvych 9 riadkov su ok ( i ked dost nesikovne vyjadrene).
Co pises potom mozes zabudnut.

Tak pokracuj od toho 9teho riadku.

Posledne dve rovnice nam umoznuju polozit, ze
$x_1=u\\x_2=v\\x_3=t$ kde u, v, t su realne parametre.

Potom
$x_4=\frac 12 u-\frac 12 v+\frac 12\\x_5=u+t$
Co sa da napisat aj
$\begin {pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\ \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} u\\v\\t\\ \frac 12 u -\frac12 v+\frac 12 t\\ u+t\\ \end {pmatrix}=u \begin {pmatrix} 1\\0\\0\\ \frac 12 \\1\\ \end {pmatrix}+v \begin {pmatrix} 0\\1\\0\\-\frac 12\\0\\ \end {pmatrix} t \begin {pmatrix} 0\\0\\1\\\frac 12 \\1\\ \end {pmatrix}$

I ked si nasiel vektory co sa podobaju na bazu priestoru rieseni, no vsak si nepopisal ziadny suvis.
Povedal by som, ze potrebujes metodicky pracovat a dat do suvisu tvoje znalosti aj z afinnymi priestormi....

Dobre pokracovanie.

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2016 22:45

Báze v R^5

#2 08. 12. 2016 14:00

Re: Báze v R^5

#3 08. 12. 2016 17:36

Re: Báze v R^5

Zápatí