Matematické Fórum

Inco · 21. 12. 2016 15:50

Dobrý den,

chtěl bych poprosit o radu s výpočtem poloměru opsané kružnice mnohoúhelníku (viz obrázek). Jedná se o pravidelný mnohoúhelník, známá je vzdálenost dvou vrcholů mnohoúhelníku (délka tětivy opsané kružnice) p, počet stran mnohoúhelníku pouze pod tětivou a délka strany mnohoúhelníku t. Cílem je zjistit výpočtem poloměr opsané kružnice ro nebo vnitřní úhel mnohoúhelníku alfa. Graficky to vyřešit lze, ale pro další výpočty je to nevyhovující. Předem děkuji za případnou radu.

Obrázek:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/31701_Mnohouhelnik.png

Cheop · 30. 12. 2016 10:09 — Editoval Cheop (30. 12. 2016 10:13)

↑ Inco:
označím-li dle obrázku:
n - počet stran n-úhelníka
t - délku strany n-úhelníku
p - délku tětivy
N - počet stran pod tětivou
pak
$\frac{p^2}{t^2}=\frac{1-\cos\left(\frac{2\pi N}{n}\right)}{1-\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)}$
Programem Wolframalpha lze dopočítat počet vrcholů n a ostatní je snadné.(poloměr kružnice i úhel alfa)

Inco · 02. 01. 2017 09:00

Dobrý den,

moc děkuji za radu.↑ Cheop:

Honzc · 02. 01. 2017 14:22 — Editoval Honzc (02. 01. 2017 14:29)

↑ Inco:
Ještě jiný výpočet: (značení dle ↑ Cheop:)
$\frac{p}{t}=\frac{\sin N\frac{\pi }{n}}{\sin \frac{\pi }{n}}=\frac{N\sin \frac{\pi }{n}\cos ^{N-1}-{N \choose 3}\sin ^{3} \frac{\pi }{n}\cos ^{N-3}\frac{\pi }{n}+...}{\sin \frac{\pi }{n}}=N\cos ^{N-1}\frac{\pi }{n}-{N \choose 3}\sin ^{2} \frac{\pi }{n}\cos ^{N-3}\frac{\pi }{n}+...$
Nyní pro snadnější výpočet můžeme zvolit nějaké rozumné N (přičemž $2\le N\le \frac{n}{2}$ )
Pro $N=2$ dostaneme:
$r_{0}=\frac{t}{\sqrt{4-(\frac{p_{2}}{t})^{2}}}$
Pro $N=3$ pak
$r_{0}=\frac{t}{\sqrt{3-\frac{p_{3}}{t}}}$
Samozřejmě to jde i pro jiná N, ale to už by byl výpočet složitější-ne tak elegantní.

Inco · 02. 01. 2017 15:17

↑ Honzc:
Dobrý den,

děkuji za nápad. Pro můj účel je výhodné vyjadřovat vnitřní úhel nebo poloměr opsané kružnice v závislosti na N, jelikož N se bude měnit.

Honzc · 03. 01. 2017 14:37 — Editoval Honzc (04. 01. 2017 06:25)

↑ Inco:
Pak tedy nějakou nunerickou metodou (třeba Newtonovou) vyřeš transcendentní rovnici:
$\frac{\sin (N\frac{\pi }{n})}{\sin (\frac{\pi }{n})}-\frac{p_{N}}{t}=0$ (počítej v radiánech)
Z toho pak už jednoduše vyjádříš $n$ a také $r_{0}$

Cheop · 04. 01. 2017 14:46

↑ Inco:
Pro tvůj případ vychází toto:

Výpočet n v n-úhelníku
Je to třetí výsledek pro m=0

Honzc · 05. 01. 2017 08:39 — Editoval Honzc (05. 01. 2017 08:53)

↑ Cheop:
Čau,
nechci ti brát iluze, ale asi jsi špatně měřil. Tobě vychází, že je to 20-ti úhelník, ale je to jenom 18-ti úhelník.
Viz.zde
Dále nevím proč jsi to tak zkomplikoval tím vzorečkem pro poloviční úhel, když stačí počítat n z rovnice
$\frac{\sin (N\frac{\pi }{n})}{\sin (\frac{\pi }{n})}-\frac{p}{t}=0$ (viz. rovnice z mého příspěvku č.6)

Inco · 09. 01. 2017 09:12

↑ Honzc:
V grafickém řešení vychází skutečně jen osmnáctiúhelník.

Cheop · 09. 01. 2017 09:17

↑ Honzc:
Já to neměřil, ale jen odhadl, že do průměru se vejdou ještě 4 strany (odhadl jsem to zjevně blbě)

Matematické Fórum

#1 21. 12. 2016 15:50

Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#2 30. 12. 2016 10:09 — Editoval Cheop (30. 12. 2016 10:13)

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#3 02. 01. 2017 09:00

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#4 02. 01. 2017 14:22 — Editoval Honzc (02. 01. 2017 14:29)

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#5 02. 01. 2017 15:17

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#6 03. 01. 2017 14:37 — Editoval Honzc (04. 01. 2017 06:25)

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#7 04. 01. 2017 14:46

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#8 05. 01. 2017 08:39 — Editoval Honzc (05. 01. 2017 08:53)

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#9 09. 01. 2017 09:12

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

#10 09. 01. 2017 09:17

Re: Opsaná kružnice mnohoúhelníku

Zápatí