Matematické Fórum

liamlim · 27. 12. 2016 23:24

Ahoj. Teď něco na procvičení indukce a na zamyšlení.

Buďte dána libovolná čísla $a_0$ , $a_1$ , ... , $a_n$ pro liché $n \ge 3$ . Pro tato čísla definujeme $s_k$ jako součet součinů všech $k$ -tic vybraných z těchto čísel. Dodefinujeme $s_0 = 1$ .

příklad nějakých konkrétních hodnot $s_k$ pro lepší pochopení:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

- toto je ukázkový příklad na indukci. velmi přímočarou indukci
(1) Dokažte, že pokud pro libovolné dva různé indexy $i$ , $j$ platí $a_ia_j + 1 = a_i + a_j$ , pak $s_0 + s_2 + s_4 + \cdots + s_{n-1} = s_1 + s_3 + \cdots + s_n$

(2) Platí ekvivalence, nebo ne? Tzn umíte najít takovou $n$ -tici čísel, která splňuje uvedenou rovnost a neplatí pro ni podmínka $a_ia_j + 1 = a_i + a_j$ pro nějaké dva různé indexy? Co myslíte?

pozn.: podmínka lichosti $n$ je hlavně pro snadnost zápisu těch dvou součtů, abych nemusel přemýšlet nad krajními členy. jinak to platí už pro $n$ rovno dvěma.

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2016 23:24

k - tice

Zápatí