Matematické Fórum

pb1809 · 29. 12. 2016 19:06

Ahoj,
potřeboval bych pomoct s tímhle příkladem, mám problém se získáním správného n:
Jaký stupeň musí mít Taylorův polynom $T_{n}(x)$ v bodě 0 funkce $f(x)=ln(1+x)$ , aby se na intervalu $(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ funkční hodnoty f a Tn lišily nejvíce o 0.1?

Už jsem vyjádřil n-tou derivaci:
$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}*\frac{(n-1)!}{(x+1)^{n}}$

n-tý Taylorův polynom:
$T_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}*x^{k}}{k}$

a zbytek:
$R_{n}(x)=|\frac{x^{n+1}}{(n+1)*(\varepsilon +1)^{n+1}}|$
Ty by měli být správně.

Pak jsem se snažil získat to n:
$\frac{x^{n+1}}{(n+1)*(\varepsilon +1)^{n+1}}<\frac{(\frac{1}{2})^{n+1}}{n+1}<\frac{1}{10}$
Předpokládám, že prostřední část poslední nerovnice je brána jako nejméně přesný případ.

Správně má vyjít n=9, ale mě vychází n=2.

Předem děkuji za pomoc

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2016 19:06

Taylorovy polynomy

Zápatí