Matematické Fórum

Janka o_O · 30. 12. 2016 16:28

Ahojte :)
Vedel by mi niekto pomôcť s týmto príkladom?
Nájdite všetky lineárne transformácie zo $\mathbb{Z}^{2}_{2}$ do $\mathbb{Z}^{2}_{2}$ . Určte, ktoré z nich sú bijekcie. Zdôvodnite úplnosť svojho zoznamu.

Viem to, že do $\mathbb{Z}^{2}_{2}$ patria vektory (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
Viem ešte to, že nulový vektor sa musí zobraziť na nulový vektor.
To je všetko. :D

Ďakujem za akúkoľvek pomoc. :)

Janka o_O · 30. 12. 2016 22:27

Jediné, čo mi napadlo, je:

(0,0) -> (0,0)

(0,1) -> (0,0)
(0,1) -> (0,1)
(0,1) -> (1,0)
(0,1) -> (1,1)

(1,0) -> (0,0)
(1,0) -> (0,1)
(1,0) -> (1,0)
(1,0) -> (1,1)

(1,1) -> (0,0)
(1,1) -> (0,1)
(1,1) -> (1,0)
(1,1) -> (1,1)

Vyšlo mi 13 možností zobrazenia .... ale neviem, či je to dobre. :(

Ak áno, čo z toho je bijekcia? .... viem len to, že bijekcia je vtedy, ak je to surjekcia aj injekcia zároveň.

Vďaka za akúkoľvek pomoc. :)

Andrejka3 · 30. 12. 2016 22:47

↑ Janka o_O:
Ahoj.
Jedna transformace, pojmenujme si ji T, je napriklad tenhle seznam:
(0,0) -> (0,0)
(0,1) -> (0,0)
(1,0) -> (0,0)
(1,1) -> (0,0)
Prvkum nalevo se rika vzory a prvkum vpravo obrazy. Napriklad T zobrazi vzor (1,0) na obraz (0,0). Obvykle se to znaci $T((1,0))=(0,0)$ nebo $(1,0)\stackrel{T}{\mapsto}(0,0)$ . Tato tranformace je nudna - at ji das cokoliv, vrati jako vysledek (0,0).

Pritt · 30. 12. 2016 22:49

↑ Janka o_O:

Ahoj, protože vektor (0, 0) se musí vždy zobrazit na (0, 0), potom zobrazení, které zobrazí i nějaký jiný nenulový vektor na (0, 0) nemůže být injektivní, tedy ani bijektivní.

Janka o_O · 30. 12. 2016 23:50

Ďakujem Andrejka3 aj Pritt. Už som na to prišla. Veľmi mi pomohlo to, Pritt, čo si napísal s tým nulovým vektorom. Ěšte raz ďakujem. :)

Janka o_O · 30. 12. 2016 23:59

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/38711_Mat_forum.png

malo by to už byť správne, dúfam :D

vanok · 31. 12. 2016 00:57

Poznamka.
Tvoj popis transformacii nie je mi ja sny.

Ak chces popisat nejaku transformaciu $f$ z $\mathbb{Z}^{2}_{2}$ do $\mathbb{Z}^{2}_{2}$ , taku aby bola linearna, tak rozhodne musi splinit tieto dve podmienky
$f(0;0)=(0;0)$ ako aj $f(x_1;y_1)+f(x_2;y_2)=f(x_1+x_2;y_1+y_2)$
pre kazde $x_1,x_2;y_1;y_2$ v $\mathbb{Z}_{2}$
Tak na urcenie linearnej transformacie $f$
Mas pochopitelne $f(0;0)=(0;0)$
A staci urcit $f(0;1)$ ako aj $f(1;0)$ .

Lebo potom $f(1;1)$ je urcene automaticky. Preco?

Pokracuj....

Janka o_O · 31. 12. 2016 12:19

↑ vanok:

automaticky je preto, lebo f(1,1) = f(0,1)+f(1,0) :) to som pochopila ...
ale to, čo mám ja je zle? či je tam toho zbytočne veľa a v skutočnosti nie je 14 možností, ale len tie, kde je f(0,1) a f(1,0)?

vanok · 31. 12. 2016 12:42

↑ Janka o_O:,
Prave mas $f(1;0)$ ako aj $f(0;1)$ slobodu vyberu. Cize mas do kopy 4x4 = 16 moznosti.
Pokial budes mat 4 rozne hodnoty v obraze pojde o bijekciu.( to treba vysetrit pre kazdu moznost)

Tato metoda vsetki lin. zobrazenia.... a potom je lahko vidiet tie bijektivne. ( vsak tu plati 1+1=0 )

Tvoj pokus riesenia nepopisuje zobrazenie ktore chces vysetrit....

PRE KONTROLU napis tvoje uplne riesenie. ( vidis takto, tvoj predosly pokus sa dal posudit ....)

Janka o_O · 31. 12. 2016 13:16

↑ vanok:
No jediné, čo mi napadlo, bolo toto, ale viem, že to asi ne je presne to, čo myslíš ...
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/86542_BIJEKCIA.png

Janka o_O · 31. 12. 2016 13:19

Keď tak teraz na to pozerám, vyzerá to tak, že f(1,1) sa zobrazí len na (0,0), či? :D

Andrejka3 · 31. 12. 2016 13:37

↑ Janka o_O:↑ Janka o_O:
Ten zápis chápu tak, že každý řádek je definice jedné transformace (plus ještě ten úplně nahoře).
Jak ses opravila, z linearity plyne, že obraz vektoru (1,1) je pak vždy (0,0) (u těchto čtyř konkrétních transformací).

Ještě nemáš všechny lin transformace.
Pozn.: je zvykem různé transformace pojmenovávat různými symboly, například indexovat f dolním indexem.

Janka o_O · 31. 12. 2016 13:43

↑ Andrejka3:

No, čiže pre
f(0,0)=(0,0)
g(1,1)=(0,0)

A zvyšné zobrazenia sú z (0,1) alebo (1,0)... a má byť ich 14 ... lenže ja som prišla len na tých 8 a ani len netuším, ako vytvorím tých zvyšných 6... môžeš mi, prosím, nejako napovedať, ak vieš? Vďaka :)

vanok · 31. 12. 2016 15:10 — Editoval vanok (31. 12. 2016 15:12)

↑ Janka o_O:,
Tak uz vies, ze mame 16 moznosti
Treba ich vsetki popisat, ako ti poradila aj↑ Andrejka3:
Zacni napr takto
$f_1(0;0)=(0;0)\\ f_1(0,1)=(0,0)\\ f_1(1,0)=(0;0)\\ f_1(1,1)=(0;0)$ v

$f_2(0;0)=(0;0)\\ f_2(0,1)=(0,1)\\ f_2(1,0)=(0;0)\\ f_2(1,1)=(0;1)$

$f_3(0;0)=..
Dokazes pokracovat?

Janka o_O · 31. 12. 2016 16:14

↑ vanok:

Idem na to dobre?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/97281_kombinacie.png

vanok · 31. 12. 2016 16:26

Pokracuj. Este ti chybaju.

Janka o_O · 31. 12. 2016 16:35

Má to byť takto? :)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/98549_final.png

vanok · 31. 12. 2016 16:44

Ano, je to vyborne.
Teraz ktore su bijekcie?

Janka o_O · 31. 12. 2016 16:51

No...
surjektívna funkcia je zobrazenie, ktoré priraďuje na každý prvok cieľovej množiny aspoň jeden prvok z východiskovej množiny.
Teda pr. 1 - 7, 10,13,14 nie su surjekcia.

Zvyšné by mali byť bijekcia.

Tak?

vanok · 31. 12. 2016 17:04

Uhm.
Mozes to povedat, aj, ze si to tie ktorych obraz ma 4 prvky.

Mas ich vsetki, vdaka konstrukcii....#7.

A este treba uplne podrobne ukazat ze pre kazde f, musis mat f(0;0)=(0;0) ( ak f je lin. zobrazenie).

To bude potom dokonale riesenie.

Janka o_O · 31. 12. 2016 17:07

↑ vanok:
No tie, ktorých obraz ma 4 prvky spĺňaju injekciu .... a keďže spĺňajú aj surjekciu, tak sú bijekciou. Tak som to brala za samozrejmosť :D Ale vďaka za dotaz. :)

vanok · 31. 12. 2016 17:38 — Editoval vanok (31. 12. 2016 18:40)

A to posledne,
Akoze $f$ je Lin. zobrazenie,
mame $f(0;0)+f(0;0)=f(0+0;0+0)=f(0;0)$
Zjednodus z $f(0;0)$ lavy a pravy clen ( co je povolene, vsak si vo vekt. priestore) dostanes
$f(0;0)=(0;0)$
( posledny dokaz, trocha trikovy... casto ho pytame na skuskach ... ach ti profesori...)

Tak to je koniec.... chod sa pripravit na oslavu sväteho Silvestra.

Janka o_O · 31. 12. 2016 18:04

Niektoré veci beriem už automaticky... ako napr. nulový vektor .... ale asi by som nemala :D
Vďaka za upozornenie a za to, že si si našiel čas aj na Silvestra.

A ....pytame na skúškach? Učíš na nejakej VŠ? Nemala by som ti vykať? :D

PS: Sivester aj profesori sa píše s I a nie Y. :)

vanok · 31. 12. 2016 18:39 — Editoval vanok (31. 12. 2016 18:43)

↑ Janka o_O:,
Aha, tu vo fr. Je to z y. No urobim ti radost a napisem ako na sk, cz

No len aby oba St,S dali nam peknu spomienku.

Na webe sa tyka, no nic to nemeni na veci a to nie je podla toho, co kto robi.

Tak vsetko pekne.

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2016 16:28

Lineárne transformácie

#2 30. 12. 2016 22:27

Re: Lineárne transformácie

#3 30. 12. 2016 22:47

Re: Lineárne transformácie

#4 30. 12. 2016 22:49

Re: Lineárne transformácie

#5 30. 12. 2016 23:50

Re: Lineárne transformácie

#6 30. 12. 2016 23:59

Re: Lineárne transformácie

#7 31. 12. 2016 00:57

Re: Lineárne transformácie

#8 31. 12. 2016 12:19

Re: Lineárne transformácie

#9 31. 12. 2016 12:42

Re: Lineárne transformácie

#10 31. 12. 2016 13:16

Re: Lineárne transformácie

#11 31. 12. 2016 13:19

Re: Lineárne transformácie

#12 31. 12. 2016 13:37

Re: Lineárne transformácie

#13 31. 12. 2016 13:43

Re: Lineárne transformácie

#14 31. 12. 2016 15:10 — Editoval vanok (31. 12. 2016 15:12)

Re: Lineárne transformácie

#15 31. 12. 2016 16:14

Re: Lineárne transformácie

#16 31. 12. 2016 16:26

Re: Lineárne transformácie

#17 31. 12. 2016 16:31 Příspěvek uživatele Andrejka3 byl skryt uživatelem Andrejka3.

#18 31. 12. 2016 16:35

Re: Lineárne transformácie

#19 31. 12. 2016 16:44

Re: Lineárne transformácie

#20 31. 12. 2016 16:51

Re: Lineárne transformácie

#21 31. 12. 2016 17:04

Re: Lineárne transformácie

#22 31. 12. 2016 17:07

Re: Lineárne transformácie

#23 31. 12. 2016 17:38 — Editoval vanok (31. 12. 2016 18:40)

Re: Lineárne transformácie

#24 31. 12. 2016 18:04

Re: Lineárne transformácie

#25 31. 12. 2016 18:39 — Editoval vanok (31. 12. 2016 18:43)

Re: Lineárne transformácie

Zápatí