Matematické Fórum

check_drummer

Eratosthenes napsal(a):
pokud se kolegovi ↑↑ check_drummer: nepodaří vymyslet místo kubické rovnice rovnici jen kvadratickou :-)

Nakonec mi to vychází opravdu jako kvadratická rovnice (resp. bikvadratická - kvadratická v kvadrátu proměnné). :-) Až budu mít čas, dám to sem, ale je to dost přímočaré (využije se vzorec (x-y).(x+y)=x^2-y^2) - a nebo tam mám chybu. :-)

Edit: tak nakonec je dokonce lineární v kvadrátu neznámé...

vanok · 09. 01. 2017 19:18

Ahoj ↑ check_drummer:,
A moje riesenie si pozrel?
Podla mna je vdaka rovnolahlosti vseobecne v pripade " geometrickeho tetivoveho svoruholnika".

check_drummer · 10. 01. 2017 16:12

↑ vanok:
Omlouvám se, zatím jsem to nestihl. Spíš vše vymýšlím tak nějak během denních povinností a tady jsem jen minimálně, rychle sepíši výsledky a zas jdu za povinnostmi. Ale pokusím se čas najít.

check_drummer · 10. 01. 2017 17:10

↑ vanok:
Pěkná konstrukce. V příspěvcích jsem zahlédl, že k>1 je problém. Ptám se proč? Stačí uvažovat tytéž úsečky v obráceném pořadí s koeficientem 1/k a ten je již menší než 1...

vanok · 10. 01. 2017 17:16

Ahoj ↑ check_drummer:,
To je opartnost.
Lebo som to neskusal prakticky robit.

Honzc · 11. 01. 2017 11:07 — Editoval Honzc (11. 01. 2017 11:08)

↑ vanok:
Zdravím,
Analytický výpočet:
Předpoklady: Počátek kss O=(0,0)
A=(0,0),B=(1,0) tedy a=1
Máme tedy strany délek $1,q,q^{2},q^{3}$
Pro tc platí $\alpha +\gamma=\beta +\delta =180^\circ$
Tedy platí: $\cos \gamma =-\cos \alpha ,\cos \delta =-\cos \beta$
Z kosinových vět - provnáním délek úhlopříček lze snadno odvodit:
Pro úhlopříčku BD
$\cos \alpha =\frac{(1-q^{2})(1-q^{4})}{4q^{3}}$ $\cos \alpha =\frac{x_{D}}{q^{3}}$
Pak $x_{D}=\frac{(1-q^{2})(1-q^{4})}{4}$ $y_{D}=\sqrt{q^{6}-x^{2}_{D}}$
Obdobně pro druhou úhlopříčku AC
$\cos \beta =\frac{(1+q^{2})(1-q^{4})}{2q(1+q^{4})}$
Pak $x_{C} =1-\frac{(1+q^{2})(1-q^{4})}{2(1+q^{4})}$ $y_{C} =\sqrt{q^{2}-(1-x_{C})^{2}}$
Poloměr kružnice opsané pak spočítáme z Parameshvarova vztahu:
$R=q^{3}\sqrt{\frac{2(1+q^{2})(1+q^{4})}{((1+q)(1+q^{2})-2)((1+q)(1+q^{2})-2q)((1+q)(1+q^{2})-2q^{2})((1+q)(1+q^{2})-2q^{3})}}$
Střed pak: $S=(\frac{1}{2},\sqrt{R^{2}-\frac{1}{4}})$

Ještě k úloze, spočítat q tak, aby jedna strana byla průměrem kr. opsané:
Pro q<1: vyřešíme rovnici: $3q^{6}+q^{4}+q^{2}-1=0$ $q\approx 0.685125116$
Pro q>1: vyřešíme rovnici: $q^{6}-q^{4}-q^{2}-3=0$ $q\approx 1.4595874194$
Platí $q_{1}=\frac{1}{q_{2}}$

Několik obrázků:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 11. 01. 2017 13:04 — Editoval vanok (12. 01. 2017 11:33)

Ahoj ↑ Honzc:,
Mne sa paci vysledok, ze sa lahko najde $BD^2$ , a tak $BD$ ( ↑ Honzc: trosku pokracuj, a tak dostanes vysledok, ktory sa skor jednoducho vyjadri vdaka $q$ Kontrola

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

)
To umozni tuto druhu vseobecnu konstrukciu.

Treba narysovat vseobecny tetivovy stvoruholnik, taky ze AB=1;BC=q;CD=q^2;DA=q^3.

Etapy tejto konstrukcie.
1) body A;B
2)kruznice (B,BD), (A,q^3)
3) jeden z bodov z ich priesecnikov da bod D
4) kruznica ABD
5) konstrukcia bodu C ....hracka, ze

A vdaka konstrukcii sa najde ( velmi jednoducho) aj polomer opisanej kruznici (ak by ho niekto potreboval). Ukocenie vdaka podobnosti aby sme dostali pytane riesenie.

Dobra kontrola konstrukcie moze byt vlasnost A) #18.

Honzc · 12. 01. 2017 12:04

↑ vanok:
Zdravím
Konstrukce viz. obr.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 13. 01. 2017 21:44

Ahoj ↑ Honzc:,
Provisorny epilog.
Ano, co sa tyka konstrukcii, toto je druha varianta.
Zda sa mi, ze su pristupne stredoskolakom.
K druhej sa rychlo dostaneme pomocou znamich vysledkom (aspon tomu tak bolo ked sa na strednej skole ucila Ptolemyho teorema ako aj dlzka diagonal tetivoveho stvoruholnika).
Tu sa najdu jednoduche dokazy
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Quadril … scriptible
ako aj tu
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral
ktore je velmi lahko upravit tak aby nam dali pouzity vyraz pre diagonalu v druhej konstrukcii ( nasho zadania)

Matematické Fórum

#26 09. 01. 2017 17:20 — Editoval check_drummer (10. 01. 2017 16:12)

Re: Tetivovy stvoruholnik

Eratosthenes napsal(a):

#27 09. 01. 2017 19:18

Re: Tetivovy stvoruholnik

#28 10. 01. 2017 16:12

Re: Tetivovy stvoruholnik

#29 10. 01. 2017 17:10

Re: Tetivovy stvoruholnik

#30 10. 01. 2017 17:16

Re: Tetivovy stvoruholnik

#31 11. 01. 2017 11:07 — Editoval Honzc (11. 01. 2017 11:08)

Re: Tetivovy stvoruholnik

#32 11. 01. 2017 13:04 — Editoval vanok (12. 01. 2017 11:33)

Re: Tetivovy stvoruholnik

#33 12. 01. 2017 12:04

Re: Tetivovy stvoruholnik

#34 13. 01. 2017 21:44

Re: Tetivovy stvoruholnik

Zápatí