Matematické Fórum

DanDan · 29. 01. 2017 10:55 — Editoval DanDan (29. 01. 2017 10:56)

Nechť V je vektorový prostor dimenze n, $W\le V$ , dimW = n - 1, M je báze W, u patří do V. Dokažte, že $M\cup {u}$ je váze V právě, když u není prvkem W.

W je podprostor ve V, je v něm tedy celý obsažen a je to lineárně nezávislá množina, který ale stále ještě nedokáže generovat celé V. M je báze ve W, $M = {(w_{1},...,w_{n-1})}$ .

Zvolme ve V bázi $N = ({v_{1},...,v_{n}})$ . Vektor u patří do V, tedy dá se vyjádřit jako lineární kombinace prvků z N. $u = \sum_{i=1}^{n}r_{i}v_{i}$ , kde r patří do reálných čísel. Platí však, že u nepatří do W, tedy ${u}\cap M = 0$ . Z důsledku Steinitzovy věty víme, že libovolnou lineárně nazávislou množinu můžeme doplnit na bázi, vzhledem k tomu, že u není lineární kombinací žádného z vektorů v M, ale patří do V, pak množina $({w_{1},...,w_{n-1}, u})$ generuje V.

Je tento důkaz správně? Nevím, jestli mohu jen tak ve V zvolit bázi N, nebo jen místo toho vybrat nějakou množinu generátorů, která generuje V (stejně jako ve Steinitzově větě)

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2017 10:55 — Editoval DanDan (29. 01. 2017 10:56)

Doplnění na bázi vektorového prostoru

Zápatí