Matematické Fórum

Flack · 29. 01. 2017 20:32 — Editoval Flack (30. 01. 2017 00:47)

Zdravím, poprosil bych o radu u tohoto příkladu:

Uvažujte všechny pravoúhlé trojúhelníky (viz obrázek), které mají obvod $D = 50 j$ . Určete funkci pro obsah trojúhelníku $S_{(x)}$ . Určete definiční obor a nakreslete graf. Zjistěte, který trojúhelník má maximální obsah. Určete inverzní funkci $S^{-1}_{(x)}$ a pomocí ní zjistěte, který trojúhelník má obsah $S = 110 j^{2}$ .

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-01/11507_uloha1.png

Všeho jsem se dopočítal až po inverzí funkci a zaráží mě jedna věc a to, že maximální obsah, který může mít trojúhelník (pravoúhlý) o obvodu 50 j mi vyšel přibližně 107,233 j^2 a to dle extrému funkce S(x). Zkoušel jsem následně "dokázat" že maximální obsah je právě těch 107,2... j^2 a to následovně:

- Odvěsny jsem si označil obě jako x z úvahy, že největší obsah bude mít trojúhelník o 2 největších možných délkách (stejných).
Pak:
$Obvod= x+x+\sqrt{(x^{2}+x^{2})}$
$50=x(2+\sqrt{2}) \Rightarrow x=50-25\cdot\sqrt{2}\doteq14,64\ldots j$
Poté největší možný obsah:
$S=\frac{1}{2}\cdot x \cdot x = \frac{1}{2}\cdot (50-25\cdot\sqrt{2})^{2}\doteq 107,2330\ldots j^{2}$

Toho samého výsledku jsem se dopočítal z nalezeného extrému funkce S(x):
$S(x)= \frac{25x\cdot (x-25)}{x-50} , x\in(0, 25)$
$[\frac{25x\cdot (x-25)}{x-50}]^{'}=0$
$x=-25\cdot (\sqrt{2}-2)$
Po dosazení x do funkce S(x):
(Maximum funkce- největší možný obsah)
$\frac{25x\cdot (x-25)}{x-50}= \frac{25[-25\cdot (\sqrt{2}-2)]\cdot [-25\cdot (\sqrt{2}-2)-25]}{-25\cdot (\sqrt{2}-2)-50}\doteq 107,2330\ldots j^{2}$

Moje otázka zní: kde jsem udělal chybu, když v úloze se mne následně ptají na nalezení trojúhelníku s obsahem $110 j^{2}$ ? Což dle mě takový trojúhelník nelze sestavit... Lze pouze s maximálním obsahem jak je uvedeno u dvou výpočtů. Děkuji za jakoukoliv odezvu...