Matematické Fórum

melit · 12. 03. 2017 19:59

Zdravím všechny,

potřeboval bych pomoci s následujícím příkladem. Dal mi to známý abych mu s tím pomohl, ale radost ze mě mít asi nebude:

"z množiny {1,2,3,4......99,100} náhodně vybereme 3 různá čísla, jaká bude pravděpodobnost toho, že jendo z nich je aritmetickým průměrem ostatních dvou?"

Díky za odpovědi!

misaH · 12. 03. 2017 20:23

↑ melit:

No.

Neviem, či to pomôže, ale:

Priemer 2 dáva 1 dvojica 1;3

Priemer 3 dávajú dve dvojice 2;4 a 1;5

Priemer 4 dávajú 3 dvojice ... a tak ďalej

melit · 12. 03. 2017 21:20

Díky za odpověď,

takhle jsem neuvažoval. Myšlenka je to dobrá, resp. platí že pro průměr existuje n-1 dvojic.

$\frac{1}{{100 \choose 3}}+\frac{2}{{100 \choose 3}}+\frac{3}{{100 \choose 3}}+...+\frac{99}{{100 \choose 3}}$

tedy by to bylo

$P(A)=\frac{\sum_{k=1}^{99}{k}}{{100 \choose 3}}$

Problém je teď jak je to s průměry od 50 a dál. Např. Průměr 90 má stejný počet dvojic jako číslo 10. Vlastně tedy ten počet dvojic zase začne klesat. Napdlo mne tedy jestli by to nemohlo být něco jako:

$P(A)=\frac{2\sum_{k=1}^{49}{k}}{{100 \choose 3}}$

Třeba je to blbost ale snažím se trochu rozvinout navrhovanou myšlenku :-)

jarrro · 12. 03. 2017 22:22

Je to ako pýtať sa koľko trojčlenných aritmetických postupností sa dá vybrať. Keď si to napíšeš tak zistíš že aritmetických postupností s najmenším členom $k$ je
$50-\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil$
Pravdepodobnosť je teda
$P=\frac{\sum\limits_{k=1}^{100}{$50-\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil$}}{\binom{100}{3}}$

melit · 12. 03. 2017 23:09

↑ jarrro:

Také díky moc za odpověď, jenom se chci zeptat podle výše uvedeného by ale mohl být i zahrnut takový průměr, který není celé číslo nebo ne? Např. průměry které jsou z lichého a sudého čísla (23+10)/2 atp. nebo to chápu špatně? Dík za vysvětlení

Jj · 13. 03. 2017 00:27 — Editoval Jj (13. 03. 2017 00:49)

↑ melit:

Zdravím.

Zřejmě podobně, možná názorněji:

Vyhovující trojice: 1,2,3; 2,3,4; 3,4,5; ... počet celkem 98
1,3,5; 2,4,6; 3,5,7; ... 96
1,4,7; 2,5,8, 3,6,9; ... 94

atd. až

1,50,99; 2,51,100 2
-------------------------------------------------
Celkem 2450

Takže bych řekl, že $P = \frac{2450}{\binom{100}{3}}=\frac{1}{66}$

což je zřejmě stejný výsledek jako kolegů ↑ melit:, ↑ jarrro:

melit · 13. 03. 2017 11:56

↑ Jj:

Zdravím a díky za odpověď. každopádně můj výsledek a výsledek, který poslal jarrro se liší.

$2\sum^{49}_{k=1}k=2450$

a oproti tomu

$\sum^{100}_{k=1}{(50-\frac{k}{2})}=2475$

Jj · 13. 03. 2017 12:54

↑ melit:

Pozor - jarrro: $P=\frac{\sum\limits_{k=1}^{100}{$50-\color{red}\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil \color{black}$}}{\binom{100}{3}}$

jarrro · 13. 03. 2017 15:24 — Editoval jarrro (13. 03. 2017 16:08)

↑ melit:Nie. Bral som len aritmetické postupnosti ktoré majú celočíselné členy
$\begin{matrix} \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5\\ 1 & 4 & 7\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & 50 & 99 \end{matrix}\}50-2+1=50-1\\ \left.\begin{matrix} 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & 6\\ 2 & 5 & 8\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 2 & 51 & 100 \end{matrix}\}51-3+1=50-1\\ \left.\begin{matrix} 3 & 4 & 5\\ 3 & 5 & 7\\ 3 & 6 & 9\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ 3 & 51 & 99 \end{matrix}\}51-4+1=50-2\\ \begin{matrix} \vdots & \vdots & \vdots \end{matrix}\\ \left.\begin{matrix} 2l & 2l+1 & 2l+2\\ 2l & 2l+2 & 2l+4\\ 2l & 2l+3 & 2l+6\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ 2l & 50+l & 100 \end{matrix}\}50+l-2l-1+1=50-l\\ \left.\begin{matrix} 2l+1 & 2l+2 & 2l+3\\ 2l+1 & 2l+3 & 2l+5\\ 2l+1 & 2l+4 & 2l+7\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ 2l+1 & 50+l & 99 \end{matrix}\}50+l-2l-2+1=50-$l+1$\\ \begin{matrix} \vdots & \vdots & \vdots \end{matrix}\\ \left.\begin{matrix} 98 & 99 & 100 \end{matrix}\}1\\ \end{matrix}$

melit · 09. 04. 2017 17:24

Úplně jsem zapomněl poděkovat jj a jarrro, jak se to občas stává. Číním tedy tak opožděně ale přece. Jarrrovy děkuji obvzlášť za podrobnou analýzu. Problém vyřešen a admina prosím o close.

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2017 19:59

Pravděpodobnost

#2 12. 03. 2017 20:23

Re: Pravděpodobnost

#3 12. 03. 2017 21:20

Re: Pravděpodobnost

#4 12. 03. 2017 22:22

Re: Pravděpodobnost

#5 12. 03. 2017 23:09

Re: Pravděpodobnost

#6 13. 03. 2017 00:27 — Editoval Jj (13. 03. 2017 00:49)

Re: Pravděpodobnost

#7 13. 03. 2017 11:56

Re: Pravděpodobnost

#8 13. 03. 2017 12:54

Re: Pravděpodobnost

#9 13. 03. 2017 15:24 — Editoval jarrro (13. 03. 2017 16:08)

Re: Pravděpodobnost

#10 09. 04. 2017 17:24

Re: Pravděpodobnost

Zápatí