Matematické Fórum

Zdravím,

zatím jsem nevymyslela 2. úlohu (už snad ano, viz edit). První by měla jít technikou, kterou už někde na fóru popsánou najdeš. Nad tětivou sestrojím zadaný obdélník tak, aby střed strany, který leží na tětivě, odpovídal středu tětivy. Dál už bys měla vidět užití podobnosti, je tak? Děkuji.

Edit: u druhé úlohy také, jak navrhuješ, používám posunuti. Předpokládám, že úloha je řešená, potom bod X tvoří s A, B obvodový úhel AXB (tj. pro geometrické nalezení úhlu mohu použit kterýkoliv bod na kružnici, potom budu úhel přenášet). Úsečku AB vidím pod úhlem AXB (velikost označím ). Pod stejným úhlem z bodu E uvidím úsečku AB1, která vznikne sestrojením rovnoběžníku (prakticky však sestrojuji úsečku BB1 rovnoběžně CD a o délce |BB1|=a). Tedy sestrojením množiny bodů, ze kterých je vidět úsečku AB1 pod úhlem najdu průsečík s CD, kterým je bod E. Snad to jde z popisu odvodit, dej, prosím, vědět, jak dopadlo. Děkuji.

↑ sitatunga:

zdravím a děkuji za zprávu. Podle zadání je "daná kruhová úseč", z tohoto pohledu úlohu považujeme za polohovou a tedy bychom měli najít všechna řešení (jelikož sestrojený obdélník bude podobný danému v každé poloze, co jde sestrojit). Pro úseč menší nebo rovnou půlkruhu budou 2 řešení, pro "větší" úseč máme jedno řešení, kdy je strána na tětivě a další řešení, že obdélník bude mít s tětivou společné jen vrcholy.

Podmínku "strana obdélníku leží na tětivě" v zadání nemáš, tedy bychom měli domyslit ještě všechny varianty řešení. To jsem, pravda, nedomýšlela zatím (až po Tvém upozornění), nechám na večer. Popř. ještě, prosím, upřesní, který obdélník budeme považovat za vepsaný do kruhové úseči.

↑ sitatunga:

asi bych doplnila, že obdélníkem vepsaným budu považovat takový, u kterého všechny vrcholy leží na zadané úseči (tedy přichází do úvahy takový, co má jednu stranu na tětivě nebo jen vrcholy na úseči). Pro úseč menší nebo rovnou půlkruhu sestrojíme 2 řešení - s postavením na delší nebo na kratší stranu. Jiné omezení zde nevidím.

Pro úseč větší, než půlkruh, mne napadá se pokusit o "propojení" poměru mezi strany obdélníku a mezi délkou tětivy úseče a poloměrem kružnice, ze které je úseč (nebo nějak jinak). Jelikož v tomto případě opravdu vidím omezení, že každý obdélník vepsat nepůjde. Z něčeho tato "neschopnost" sestrojit musí plynout.

Techniku sestrojení asi víc nevymyslím - buď jedna strana na tětivě se středem strany ve středu tětivy nebo střed uhlopříček ve středu kružnice, ze které je úseč. Odkud máš úlohu? Děkuji.

↑ sitatunga:

také děkuji. Co jsem zkoušela odvozovat, tak ano, šlo by najít vztah mezi strany zadaného obdélníku (i "geometricky sestrojitelné" vztahy) a mezi zadáním úseče (poloměr a velikost tětivy) a odvodit řešitelnost úlohy a techniku sestrojení. Ještě mne napadla také možnost, že pokud sestrojujeme uvnitř úseče (užitím středu uhlopříček), tak další řešení obdržíme rotaci sestrojeného obdélníku okolo středu a to od polohy levého dolního vrcholu v levém bodě tětivy až do polohy pravého dolního vrcholu v pravém bodě tětivy (popisuji jen pro představu, dle Tvého obrázku). Tedy z toho plyne i možnost "nekonečně mnoho řešení".

Takové úvahy by snad měly smysl, pokud by úloha záměrně byla zadána tak neúplně a předpokládá se hodně podrobný rozbor (buď podle toho, co studuješ, nebo ještě se zeptat vašeho vyučujícího).